Из широкого сосуда через узкую цилиндрическую трубку в его дне вытекает жидкость плотности \(\rho\). Как распределены по вертикали давление и скорость жидкости в сосуде и трубке? Давление воздуха \(P_0\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Скорость. Пусть \(H\) — глубина выходного отверстия под свободной поверхностью. Торричелли: на выходе \(v=\sqrt{2gH}\). В трубке сечение постоянно, значит эта же скорость по всей трубке. В широком сосуде скорость практически нулевая.
В сосуде — жидкость почти покоится, поэтому обычная гидростатика (\(x\) — глубина под свободной поверхностью):
\[ P_{\text{с}} = P_0 + \rho g x. \]В трубке. Скорость постоянна, поэтому из Бернулли \(P+\rho v^2/2-\rho gx=\text{const}\) остаётся \(P+(-\rho gx)=\text{const}\). Константу берём из выхода: при \(x=H\) давление \(P_0\):
\[ \boxed{P_{\text{т}} = P_0 + \rho g\,(x-H)} \]То есть в трубке давление ниже атмосферного всюду, кроме самого выхода.
Скачок на входе. На входе в трубку скорость подскакивает с нуля до \(v\), и давление падает ровно на \(\rho v^2/2=\rho gH\):
\[ P_{\text{с}}-P_{\text{т}} = (P_0+\rho gx)-(P_0+\rho g x-\rho gH)=\rho gH \ \checkmark \]