Савченко · Глава 4. Механика жидкости · § 4.3. Движение идеальной жидкости

Савченко, задача 4.3.6

Условие

По изогнутой под прямым углом трубе поперечного сечения \(S\) со скоростью \(v\) течёт жидкость плотности \(\rho\). С какой силой жидкость действует на трубу, если давление жидкости на выходе из трубы \(P\)? Силой тяжести пренебречь.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Скорость поворачивается на 90°, её изменение по модулю равно \(v\sqrt2\) и направлено по биссектрисе — туда же смотрит и сила, с которой жидкость давит на трубу.

Идея Складываем два вклада: «динамический» — от поворота импульса, и «статический» — от давления на торцах. Оба поворачивают на 90°, поэтому оба дают множитель \(\sqrt2\).

Давления одинаковы. Сечение постоянно, тяжести нет, значит по Бернулли давление на входе равно давлению на выходе: \(P_1=P_2=P\).

Импульс. Секундная масса \(\mu=\rho Sv\); её скорость поворачивается на 90°, так что

\[ |\Delta \vec v| = v\sqrt2, \qquad \left|\frac{\Delta\vec p}{\Delta t}\right| = \rho S v^2\sqrt2. \]

Давление на торцах. Силы \(PS\) на входе (вперёд) и \(PS\) на выходе (назад) тоже перпендикулярны друг другу, их равнодействующая \(PS\sqrt2\).

Сила трубы на жидкость \(\vec F_{\text{тр}}\) равна разности; обе «противоположные» векторные величины смотрят вдоль одной биссектрисы, поэтому модули складываются:

\[ \boxed{F = \sqrt2\,\big(P+\rho v^2\big)S} \]

Столько же жидкость давит на трубу — по биссектрисе угла, «наружу» колена.

Проверка. При \(v=0\) остаётся \(\sqrt2\,PS\) ✓ — просто разрывающее действие давления на колено. При \(P=0\) остаётся \(\sqrt2\,\rho v^2S\) ✓ — чисто реактивный вклад. Размерность: Па·м² = Н ✓. Пример: \(S=10\) см², \(v=5\) м/с, \(P=2\) атм: \(F=\sqrt2(2\cdot10^5+2{,}5\cdot10^4) \cdot10^{-3}\approx320\) Н ✓ — колено надо крепить всерьёз.

Ответ \(F = \sqrt2\,(P+\rho v^2)S\), по биссектрисе угла.

Следующая задача 4.3.7 →