Савченко · Глава 4. Механика жидкости · § 4.3. Движение идеальной жидкости

Савченко, задача 4.3.7

Задача 4.3.7насос с поршнем

Условие

Насос представляет собой расположенный горизонтально цилиндр с поршнем площади \(S\) и выходным отверстием площади \(s\), расположенным на оси цилиндра. Определите скорость истечения струи жидкости из насоса, если поршень под действием силы \(F\) перемещается с постоянной скоростью. Плотность жидкости \(\rho\).

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Поршень площади \(S\) идёт со скоростью \(u\), струя вылетает через отверстие площади \(s\) со скоростью \(v\); \(Su=sv\).

Идея Сила \(F\) создаёт под поршнем избыточное давление \(F/S\). Дальше — Бернулли, но не забывая про скорость самого поршня: если \(s\) сравнимо с \(S\), жидкость под поршнем уже движется заметно.

Давление под поршнем. Поршень идёт равномерно, значит

\[ P-P_0=\frac FS. \]

Непрерывность: \(Su=sv\), откуда \(u=vs/S\).

Бернулли от поршня до среза отверстия:

\[ P+\frac{\rho u^2}{2} = P_0+\frac{\rho v^2}{2} \ \Longrightarrow\ \frac FS=\frac{\rho}{2}\left(v^2-\frac{s^2}{S^2}v^2\right) =\frac{\rho v^2}{2}\cdot\frac{S^2-s^2}{S^2}. \] \[ \boxed{v=\sqrt{\frac{2FS}{\rho\,(S^2-s^2)}}} \]

Проверка. При \(s\ll S\) получаем \(v=\sqrt{2F/(\rho S)}\) ✓ — обычная формула Торричелли с избыточным давлением \(F/S\). При \(s\to S\) скорость \(\to\infty\) ✓ формально; физически это значит, что «отверстие» стало во весь цилиндр, разгонять нечего и сколь угодно малая сила даёт большое ускорение — стационарного режима просто нет. Размерность: \(F S/(\rho S^2)\) — Н·м²/(кг/м³·м⁴)= м²/с² ✓.

Ответ \(v=\sqrt{2FS\big/\big[\rho(S^2-s^2)\big]}\).

Следующая задача 4.3.8 →