Задача 4.3.8поток по склону
Условие
По длинной наклонной плоскости стекает широкий поток воды. На протяжении \(l\) по течению глубина потока уменьшается вдвое. На протяжении какого пути глубина потока уменьшится в четыре раза?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Поток разгоняется как тело на наклонной плоскости: \(v^2=v_0^2+2as\). А расход постоянен,
значит глубина обратно пропорциональна скорости: \(hv=\text{const}\).
Связь глубины и скорости. На единицу ширины расход \(q=hv\) одинаков всюду:
глубина уменьшилась вдвое \(\Rightarrow\) скорость выросла вдвое: \(v=2v_0\);
глубина уменьшилась вчетверо \(\Rightarrow\) \(v=4v_0\).
Разгон. Ускорение \(a=g\sin\alpha\) постоянно, поэтому
\[ (2v_0)^2 = v_0^2+2al \ \Longrightarrow\ 2al = 3v_0^2, \] \[ (4v_0)^2 = v_0^2+2ax \ \Longrightarrow\ 2ax = 15v_0^2. \]Делим одно на другое:
\[ \frac xl=\frac{15}{3}=5, \qquad \boxed{x=5l} \]Проверка.
Ни \(a\), ни \(v_0\) в ответ не вошли ✓ — они сократились, поэтому угол наклона неважен.
Логика «квадратов»: путь пропорционален \(v^2-v_0^2\), а \(v^2\) растёт как
\((h_0/h)^2\): для двойки это \(4-1=3\), для четвёрки \(16-1=15\) ✓.
Заметим, что после первого участка длины \(l\) до четырёхкратного уменьшения остаётся ещё
\(4l\) ✓ — разгон замедляется по глубине, поток «выравнивается» всё медленнее.
Модель годится, пока трение и поверхностное натяжение малы ✓.
Ответ \(x=5l\).