Плита массы \(m\) удерживается на месте в горизонтальном положении \(N\) струями
жидкости плотности \(\rho\), бьющими вертикально вверх. Площадь каждого отверстия \(S\).
Скорость жидкости на выходе из отверстий \(v\). На какой высоте над отверстиями
удерживается плита, если, достигнув плиты, жидкость разлетается от неё в горизонтальной
плоскости?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
РешениеКаждая струя, долетев до плиты, теряет всю вертикальную скорость и
растекается вбок — плита получает импульс всей струи.
Идея
Струя, ударяясь в плиту, теряет всю вертикальную скорость. Значит сила равна секундной массе,
умноженной на скорость у плиты. А секундная масса задаётся у отверстия и по дороге не
меняется.
Секундная масса. У отверстия \(\mu=\rho S v\); выше по струе сечение растёт, а
скорость падает, но произведение сохраняется ✓.
Сила на плиту. Если у плиты скорость \(u\), то каждая струя давит с силой
\(\mu u\), а всего
\[ N\rho S v\,u = mg \quad\Longrightarrow\quad u = \frac{mg}{\rho v S N}. \]
Высота. Струя тормозится тяжестью: \(u^2=v^2-2gh\), откуда
\[ \boxed{h=\frac{1}{2g}\left[v^2-\left(\frac{mg}{\rho v S N}\right)^2\right]} \]
Проверка.
Если плита лёгкая \((m\to0)\), то \(u\to0\) и \(h\to v^2/2g\) ✓ — плита парит на
самой вершине струй, где они уже почти остановились.
Плита тяжелее — струя должна бить сильнее, значит плита сидит ниже ✓.
Максимальная масса, которую можно удержать: при \(h=0\) получаем
\(m_{\max}=\rho SNv^2/g\) ✓ — плита лежит прямо на отверстиях.
Размерность подкоренного выражения — м²/с², делённая на \(g\), даёт метры ✓.
Ответ
\(h=\dfrac{1}{2g}\left[v^2-\left(\dfrac{mg}{\rho vSN}\right)^2\right]\).