С каким ускорением будет двигаться длинное цилиндрическое тело плотности \(\rho\) и радиуса \(r\) вдоль оси вертикального высокого цилиндрического сосуда радиуса \(R\), заполненного жидкостью плотности \(\rho_0\)? Чему равна разность давлений на верхнее и нижнее основания тела, если его длина равна \(h\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Кинематика. Тело идёт со скоростью \(u\), жидкость в зазоре — со скоростью \(w\) вверх. Через любое сечение суммарный поток нулевой:
\[ \pi r^2 u = \pi(R^2-r^2)\,w \ \Longrightarrow\ w = u\,\frac{r^2}{R^2-r^2}\equiv ku, \qquad k=\frac{r^2}{R^2-r^2}. \]Энергия. Кинетическая энергия (тело плюс жидкость в зазоре, длина участка \(h\)):
\[ E = \frac12\pi r^2h\rho\,u^2 + \frac12\pi(R^2-r^2)h\rho_0\,w^2 = \frac12\underbrace{\pi r^2h\big(\rho+\rho_0k\big)}_{m_{\text{эфф}}}u^2. \]Сила. При опускании тела на \(\Delta x\) объём \(\pi r^2\Delta x\) жидкости поднимается на \(h\), а тело опускается на \(\Delta x\):
\[ F = \pi r^2 h\,(\rho-\rho_0)\,g \quad(\text{вес минус Архимед}). \]Ускорение \(a=F/m_{\text{эфф}}\):
\[ \boxed{a = \frac{\rho-\rho_0}{\rho+\rho_0\dfrac{r^2}{R^2-r^2}}\;g} \]Разность давлений. Второй закон Ньютона для самого тела (вниз положительно):
\[ \rho\pi r^2h\,a = \rho\pi r^2 h\,g - \Delta P\,\pi r^2 \ \Longrightarrow\ \Delta P = \rho h\,(g-a). \]Подставляя \(a\) и пользуясь \(1+k=R^2/(R^2-r^2)\):
\[ g-a = \frac{\rho_0(1+k)}{\rho+\rho_0k}\,g = \frac{\rho_0R^2\,g}{\rho(R^2-r^2)+\rho_0r^2}, \] \[ \boxed{\Delta P = \frac{\rho R^2}{\rho\,(R^2-r^2)+\rho_0 r^2}\;\rho_0 g h} \]