Во сколько раз увеличится сброс воды через широкую плотину, если высота уровня воды над
кромкой возрастает в два раза?
К задаче 4.3.11 (рисунок из условия, перерисован): вода переливается через
кромку плотины при напоре \(h\); штриховая линия — уровень и струя при напоре
\(2h\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Уравнения идеальной жидкости не содержат никакого масштаба длины. Значит при увеличении
напора вдвое картина течения просто подобна прежней с коэффициентом 2 по длинам —
а скорости при этом растут как \(\sqrt{2}\), потому что \(v\sim\sqrt{gH}\).
Подобие. Пусть напор над кромкой вырос с \(H\) до \(2H\). Тогда:
все линейные размеры потока (толщина слоя, длина «языка» струи) — в 2 раза;
скорости — в \(\sqrt2\) раз, ведь из \(v^2/2 = gH\) следует \(v\propto\sqrt H\).
Сброс (объём в секунду через единицу ширины) — это толщина, умноженная на скорость:
Проверка.
То же самое из формулы: \(Q\propto H\cdot\sqrt{gH}=\sqrt g\,H^{3/2}\), и при
удвоении \(2^{3/2}=2\sqrt2\) ✓ — знаменитый «закон трёх вторых» для водослива.
Подобие законно, потому что в задаче нет других длин (плотина широкая, вязкость и
поверхностное натяжение не в счёт) ✓.
Оценка «на глаз»: сброс растёт быстрее, чем напор — вода не только толще, но и быстрее ✓.