Вода вытекает из широкого сосуда через треугольный вырез в его стенке. Во сколько раз
уменьшится скорость понижения уровня воды при изменении высоты её уровня от \(H\) до
\(h\)?
К задаче 4.3.12 (рисунок из условия, перерисован): треугольный вырез в стенке
широкого сосуда (вид спереди); уровень воды стоит на высоте \(H\) над вершиной
выреза.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Снова подобие — но теперь треугольный вырез «сам подстраивается»: при уровне \(H\) в дело
вступает вся вырезанная фигура с масштабом \(H\), при уровне \(h\) — подобная ей с
масштабом \(h\). Значит меняются два линейных размера, а не один.
Что во сколько раз меняется при переходе от \(H\) к \(h\) (обозначим
\(n=H/h\)):
все линейные размеры смоченной части выреза и струи — в \(n\) раз;
площадь живого сечения струи — в \(n^2\) раз;
скорость истечения — в \(\sqrt n\) раз.
Расход = площадь × скорость уменьшается в \(n^2\sqrt n = n^{5/2}\) раз. Сосуд
широкий, его сечение не меняется, значит скорость понижения уровня падает во столько же раз:
Проверка.
Треугольный вырез знаменит именно этим: \(Q\propto H^{5/2}\) ✓ — на этом основаны
измерительные водосливы Томсона.
Сравним с предыдущей задачей: у широкой плотины менялся один размер и получилось
\(H^{3/2}\) ✓, здесь два — и показатель на единицу больше ✓.
Проверка предела: при \(h\to H\) отношение \(\to1\) ✓.
Числом: уровень упал вдвое \(\Rightarrow\) скорость понижения упала в
\(2^{2{,}5}=5{,}66\) раза ✓.