Широкая струя жидкости толщины \(h\) падает под углом \(\alpha\) со скоростью
\(v\) на плоскость. На какие струи распадается падающая струя?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
РешениеСтруя толщины \(h\) падает под углом \(\alpha\) к плоскости и растекается
на две: вперёд толщины \(h_1\) и назад толщины \(h_2\). Скорости всех трёх одинаковы.
Идея
Два закона на два неизвестных. Энергия (Бернулли на свободной поверхности) даёт скорости —
они у всех струй одинаковы. Импульс вдоль плоскости сохраняется (плоскость давит
только по нормали) — это даёт толщины.
Скорости. Все три струи имеют свободную поверхность при атмосферном давлении, а
тяжестью на масштабе удара пренебрегаем. По Бернулли скорость всюду одна и та же — \(v\).
Сохранение массы (на единицу ширины): \(h = h_1+h_2\).
Импульс вдоль плоскости. Нормальная реакция плоскости вдоль неё проекции не
имеет, поэтому
\[ \rho h v\cdot v\cos\alpha = \rho h_1 v\cdot v - \rho h_2 v\cdot v
\ \Longrightarrow\ h_1-h_2 = h\cos\alpha. \]
Проверка.
При \(\alpha=0\) (струя скользит вдоль плоскости): \(h_1=h\), \(h_2=0\) ✓ — ничего не
поворачивает назад.
При \(\alpha=90^{\circ}\) (удар по нормали): \(h_1=h_2=h/2\) ✓ — симметричное
растекание.
Сумма всегда \(h\) ✓, обе толщины неотрицательны ✓.
Сила на плоскость: \(F=\rho hv^2\sin\alpha\) — это нормальная составляющая импульса ✓,
при \(\alpha=90^{\circ}\) получаем знакомое \(\rho hv^2\).
Через полуугол: \(h_1=h\cos^2(\alpha/2)\), \(h_2=h\sin^2(\alpha/2)\) ✓ — компактная
форма того же ответа.
Ответ
Скорости всех струй равны \(v\); \(h_1=h(1+\cos\alpha)/2\),
\(h_2=h(1-\cos\alpha)/2\).