Две широкие металлические пластины, расположенные под углом \(2\alpha\) друг к другу, движутся со скоростью \(v\) по нормали к своей поверхности. Найдите скорость струй, возникающих при столкновении пластин, рассматривая движение металла как движение идеальной жидкости.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Скорость точки встречи. Пластины сближаются, линия их пересечения бежит вдоль биссектрисы. За время \(\Delta t\) каждая пластина проходит \(v\Delta t\) по нормали, а точка встречи уезжает на \(v\Delta t/\sin\alpha\):
\[ u = \frac{v}{\sin\alpha}. \]В бегущей системе. Вычитаем \(u\) вдоль биссектрисы. Легко проверить, что получившаяся скорость каждой пластины направлена ровно вдоль неё самой и равна
\[ w = v\,\mathrm{ctg}\,\alpha. \]Это две встречные симметричные струи, сходящиеся под углом \(2\alpha\). По задаче 4.3.13 (симметричный случай) они дают две струи вдоль биссектрисы — вперёд и назад — с той же по модулю скоростью \(w\).
Возвращаемся в лабораторию: прибавляем \(u\):
\[ v_2 = w+u = v\,\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+\frac{v}{\sin\alpha} = v\,\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha} = v\,\mathrm{ctg}\frac{\alpha}{2}, \] \[ v_1 = u-w = v\,\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} = v\,\mathrm{tg}\frac{\alpha}{2}. \] \[ \boxed{v_1 = v\,\mathrm{tg}\frac{\alpha}{2}, \qquad v_2 = v\,\mathrm{ctg}\frac{\alpha}{2}} \]