Определите форму стационарной струи, сформировавшейся после столкновения двух струй
радиуса \(R\) и \(r\), которые двигались навстречу друг другу с одинаковой скоростью.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
РешениеВстречные струи расходятся конической плёнкой; её раствор задаётся балансом
импульса вдоль оси.
Идея
Задача осесимметрична, поэтому вытекающая плёнка — конус. Скорость на ней та же
\(v\) (Бернулли на свободной поверхности), а раствор конуса найдём из импульса вдоль оси.
Масса. Секундные массы: \(\rho\pi R^2v\) и \(\rho\pi r^2v\); суммарно
\(\rho\pi(R^2+r^2)v\).
Импульс вдоль оси. Приходит \(\rho\pi R^2v^2-\rho\pi r^2v^2\); уходит вся
масса со скоростью \(v\) под углом \(\alpha\) к оси, то есть с осевой проекцией
\(v\cos\alpha\):
Проверка.
При \(r=R\): \(\cos\alpha=0\), \(\alpha=90^{\circ}\) ✓ — симметричный удар, плёнка
расходится плоским диском.
При \(r\to0\): \(\cos\alpha\to1\), \(\alpha\to0\) ✓ — слабая струя не может
развернуть сильную.
Значение всегда между \(-1\) и \(1\) ✓, и при \(r>R\) угол тупой ✓ — плёнка
«загибается» назад, в сторону более слабой струи.
Энергия: скорость плёнки \(v\) ✓, значит энергия сохраняется — потерь нет, как и должно
быть в идеальной жидкости.
Ответ
Конус с полурастворами \(\alpha\), где \(\cos\alpha = (R^2-r^2)/(R^2+r^2)\).