Задача 4.5.27струя из крана
Условие
Оцените, на каком расстоянии от крана радиус струи воды уменьшится в полтора раза. Скорость выходящей из крана воды 0,3 м/с, начальный радиус струи 2 мм.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Струя падает и разгоняется, а раз расход постоянен, она тончает. Бернулли надо писать
аккуратно: у тонкой струи внутри есть добавочное лапласовское давление \(\sigma/r\)
(поверхность цилиндрическая).
Непрерывность. \(v r^2 = v_0 r_0^2\), значит при \(r=r_0/1{,}5\)
\[ v = v_0\cdot1{,}5^2 = 0{,}3\cdot2{,}25 = 0{,}675\ \text{м/с}. \]Обобщённый Бернулли вдоль поверхности струи (\(h\) — расстояние вниз от крана):
\[ \frac{\rho v^2}{2}+\frac{\sigma}{r} = \frac{\rho v_0^2}{2}+\frac{\sigma}{r_0}+\rho g h. \] \[ h = \frac{v^2-v_0^2}{2g} + \frac{\sigma}{\rho g}\left(\frac1r-\frac1{r_0}\right). \]Числа. Первое слагаемое: \((0{,}456-0{,}09)/19{,}6 = 1{,}87\) см. Второе: \(\dfrac{0{,}073}{9800}\left(\dfrac{1}{1{,}33\cdot10^{-3}}-\dfrac{1}{2\cdot10^{-3}}\right) = 7{,}45\cdot10^{-6}\cdot250 = 0{,}19\) см.
\[ \boxed{h \approx 2\ \text{см}} \]Проверка.
Поправка на поверхностное натяжение — всего 10 % ✓: при таких размерах струи она мала́,
но знак правильный (струе «тесно» тончать, поэтому падать приходится чуть дольше).
Без разгона струя не тончала бы вовсе ✓.
Проверка по свободному падению: скорость 0,675 м/с набирается при падении с
\(v^2/2g=2{,}3\) см от состояния покоя; вычитая начальные 0,46 см, получаем те же
1,9 см ✓.
Оценка «сверху» для места распада струи на капли: на расстоянии в несколько сантиметров
струя как раз становится неустойчивой ✓ — знакомая картина у кухонного крана.
Ответ \(h\approx2\) см.