Задача 4.5.26разделить каплю
Условие
Какую работу против сил поверхностного натяжения нужно совершить, чтобы разделить сферическую каплю ртути радиуса 3 мм на две одинаковые капли?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Объём сохраняется, а площадь растёт. Работа — это \(\sigma\), умноженное на прирост
площади.
Радиус половинок. \(2\cdot\tfrac43\pi r^3=\tfrac43\pi R^3\), значит
\[ r = \frac{R}{\sqrt[3]{2}} = \frac{3}{1{,}26} = 2{,}38\ \text{мм}. \]Прирост площади.
\[ \Delta S = 2\cdot4\pi r^2 - 4\pi R^2 = 4\pi R^2\left(2\cdot2^{-2/3}-1\right) = 4\pi R^2\left(\sqrt[3]{2}-1\right). \] \[ \Delta S = 4\pi\cdot9\cdot10^{-6}\cdot0{,}26 = 2{,}94\cdot10^{-5}\ \text{м}^2. \] \[ A = \sigma\,\Delta S = 0{,}465\cdot2{,}94\cdot10^{-5}, \qquad \boxed{A \approx 1{,}4\cdot10^{-5}\ \text{Дж}} \]Проверка.
Множитель \(\sqrt[3]{2}-1=0{,}26\) ✓: площадь растёт лишь на 26 % — деление пополам
«дёшево», зато дробление на \(n\) частей даёт множитель \(n^{1/3}-1\), и распылить
каплю в туман очень дорого ✓.
Размерность: (Н/м)·м² = Дж ✓.
Порядок: 14 микроджоулей ✓ — примерно энергия падения этой же капли с высоты 0,04 мм,
то есть ничтожно мало по бытовым меркам, но именно она удерживает ртуть от дробления.
Обратный процесс — слияние двух капель — эту энергию выделяет ✓, и капли при слиянии
заметно «вздрагивают».
Ответ \(A\approx1{,}4\cdot10^{-5}\) Дж.