На четыре ртутных шарика, лежащих на горизонтальной плоскости, осторожно кладут
квадратную пластинку. Радиус каждого шарика 1 мм, масса пластины 80 г, поверхностное
натяжение ртути 0,465 Н/м. Смачивания нет. На каком расстоянии от горизонтальной плоскости
будет находиться нижняя поверхность пластины?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
РешениеКаждый шарик расплющился в «лепёшку» толщины \(h\). Её край сильно изогнут,
радиус кривизны \(h/2\), и внутри давление избыточно на \(2\sigma/h\).
Идея
Каждый шарик расплющивается в лепёшку толщины \(h\). Её боковой край сильно изогнут:
радиус кривизны \(h/2\), поэтому внутри давление избыточно на \(2\sigma/h\). Это
давление и держит пластину.
Давление в лепёшке. Ртуть не смачивает, край лепёшки — почти полуокружность
радиуса \(h/2\):
\[ \Delta P \approx \frac{\sigma}{h/2} = \frac{2\sigma}{h}. \]
(Вторым, «большим», радиусом кривизны — радиусом самой лепёшки — пренебрегаем: он
гораздо больше.)
Проверка.
Проверим самосогласованность: радиус лепёшки
\(R_{\text{л}}=\sqrt{4a^3/(3h)}=\sqrt{4\cdot10^{-9}/(3\cdot1{,}4\cdot10^{-4})}
=3{,}1\) мм ✓ — он и правда много больше \(h/2=0{,}07\) мм, так что пренебрежение
вторым радиусом законно ✓.
Избыточное давление \(2\sigma/h=6{,}6\) кПа, на четырёх пятнах суммарной площадью
\(1{,}2\cdot10^{-4}\) м² даёт 0,79 Н против веса 0,78 Н ✓.
Зависимость \(h\propto\sqrt{\sigma a^3/m}\) ✓ — тяжелее пластина, тоньше зазор.
Гидростатикой внутри лепёшки пренебрегли: \(\rho gh = 13600\cdot9{,}8\cdot1{,}4\cdot10^{-4}
=19\) Па против 6600 Па ✓ — законно.