Радиус кривизны капли в верхней её точке \(R\). Чему равна масса капли, если её высота
\(h\), радиус соприкосновения капли с горизонтальной плоскостью, на которой она
находится, равен \(r\)? Плотность жидкости \(\rho\), поверхностное натяжение
\(\sigma\), плоскость не смачивается жидкостью.
К задаче 4.5.24 (рисунок из условия, перерисован): капля высоты \(h\) на
несмачиваемой плоскости; радиус кривизны в верхней точке \(R\), радиус пятна контакта
\(r\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Каплю держит плоскость. Сила, с которой плоскость давит на каплю, — это избыточное давление
у самого низа, умноженное на площадь пятна. А низовое давление считается «сверху вниз»:
лапласовская добавка на макушке плюс гидростатика по высоте капли.
Давление у дна. На макушке поверхность сферическая радиуса \(R\), значит сразу
под ней избыточное давление \(2\sigma/R\). Опускаясь на \(h\), прибавляем
\(\rho gh\):
\[ P_{\text{низ}} = \frac{2\sigma}{R}+\rho g h \quad(\text{сверх атмосферного}). \]
Вес. Со стороны плоскости капля получает вверх силу
\(P_{\text{низ}}\cdot\pi r^2\) (атмосферное давление, действующее на всю остальную
поверхность капли, в сумме даёт нуль). Она и уравновешивает вес:
\[ mg = \pi r^2\left(\frac{2\sigma}{R}+\rho g h\right), \]
\[ \boxed{m = \pi r^2\left(\rho h + \frac{2\sigma}{Rg}\right)} \]
Проверка.
Если \(\sigma\to0\), капля превращается в цилиндр («блин») высоты \(h\) и
\(m=\rho\pi r^2h\) ✓.
Если тяжесть мала́ и капля — почти шар \((R\approx h/2\approx r)\):
\(m\approx2\pi r\sigma/g\) ✓ — это как раз «капля, висящая на плёнке» из задачи 4.5.3.
Размерность: \(\sigma/(Rg)\) — (Н/м)/(м·м/с²) = кг/м³ ✓, та же, что у \(\rho\), значит
складывать можно.
Оба слагаемых положительны ✓, и капля тем тяжелее, чем шире её пятно ✓.
Ответ
\(m = \pi r^2\left(\rho h + 2\sigma/(Rg)\right)\).