Савченко · Глава 4. Механика жидкости · § 4.5. Поверхностное натяжение жидкости

Савченко, задача 4.5.23

Задача 4.5.23пузырь на пузыре

Условие

На мыльном пузыре радиуса \(R_0\) «сидит» ещё один мыльный пузырь радиуса \(r\). Какой радиус кривизны имеет плёнка, их разделяющая? Какой угол образуют плёнки в местах соприкосновения?

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Перегородка выгибается в сторону большего пузыря: в маленьком давление выше. Три плёнки сходятся под углами 120°.

Идея Перегородка «чувствует» разность давлений в двух пузырях. Каждое из них известно по формуле для мыльного пузыря \(4\sigma/R\), а перегородка — тоже мыльная плёнка с двумя поверхностями.

Давления. Считая от наружного \(P_0\):

\[ P_{\text{бол}} = P_0+\frac{4\sigma}{R_0}, \qquad P_{\text{мал}} = P_0+\frac{4\sigma}{r}. \]

Перегородка. Она разделяет две области с разностью давлений \(P_{\text{мал}}-P_{\text{бол}}\) и, будучи мыльной плёнкой, даёт скачок \(4\sigma/R\):

\[ \frac{4\sigma}{R} = \frac{4\sigma}{r}-\frac{4\sigma}{R_0} \ \Longrightarrow\ \frac1R=\frac1r-\frac1{R_0}, \] \[ \boxed{R = \frac{r\,R_0}{R_0-r}} \]

Перегородка выгибается в сторону большого пузыря — там давление меньше.

Углы. В линии соприкосновения сходятся три мыльные плёнки с одинаковым натяжением. Три равные силы уравновешиваются, только если углы между ними равны:

\[ \boxed{\alpha = 120^{\circ}} \]

Проверка. При \(r\to R_0\) радиус \(R\to\infty\) ✓ — одинаковые пузыри разделены плоской перегородкой. При \(r\ll R_0\) получаем \(R\approx r\) ✓ — маленький пузырь почти не «замечает» большого, перегородка почти сферическая с его собственным радиусом. Правило 120° — общий закон для мыльных плёнок (правило Плато) ✓; поэтому в пене всегда сходятся ровно по три плёнки. Проверка «на трёх радиусах»: \(1/R+1/R_0=1/r\) ✓ — очень симметричное соотношение, из него видно, что перегородка всегда круче большого пузыря.

Ответ \(R = rR_0/(R_0-r)\); плёнки сходятся под углом 120°.

Следующая задача 4.5.24 →