Маленькая капля жира плавает на поверхности жидкости, поверхностное натяжение которой \(\sigma\). Поверхностное натяжение жира на границе воздух–жир \(\sigma_1\), на границе жир–жидкость \(\sigma_2\). Определите толщину капли, если её радиус равен \(r\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Треугольник Неймана. Пусть верхний колпачок подходит к линии контакта под углом \(\alpha\) к горизонту, нижний — под углом \(\beta\). Три силы уравновешиваются:
\[ \sigma = \sigma_1\cos\alpha+\sigma_2\cos\beta, \qquad \sigma_1\sin\alpha = \sigma_2\sin\beta \equiv t. \]Обозначив \(A=\sigma_1\cos\alpha\), \(B=\sigma_2\cos\beta\), имеем \(A+B=\sigma\) и \(A^2-B^2=\sigma_1^2-\sigma_2^2\), откуда
\[ A = \frac{\sigma^2+\sigma_1^2-\sigma_2^2}{2\sigma}, \qquad B = \frac{\sigma^2+\sigma_2^2-\sigma_1^2}{2\sigma}. \]Высота сегмента. Для сферического сегмента с радиусом основания \(r\), край которого наклонён на угол \(\alpha\), высота равна \(r\,\mathrm{tg}(\alpha/2)\). Значит
\[ h = r\left[\mathrm{tg}\frac{\alpha}{2}+\mathrm{tg}\frac{\beta}{2}\right] = r\,t\left[\frac{1}{\sigma_1+A}+\frac{1}{\sigma_2+B}\right] \](здесь использовано \(\mathrm{tg}(\alpha/2)=\sin\alpha/(1+\cos\alpha)=t/(\sigma_1+A)\)).
Алгебра. Прямой подсчёт даёт
\[ \sigma_1+A = \frac{(\sigma+\sigma_1+\sigma_2)(\sigma+\sigma_1-\sigma_2)}{2\sigma}, \qquad \sigma_2+B = \frac{(\sigma+\sigma_1+\sigma_2)(\sigma+\sigma_2-\sigma_1)}{2\sigma}, \] \[ t^2 = \frac{(\sigma+\sigma_1+\sigma_2)(\sigma+\sigma_1-\sigma_2) (\sigma+\sigma_2-\sigma_1)(\sigma_1+\sigma_2-\sigma)}{4\sigma^2}, \]и после сокращений (пользуясь \((\sigma+\sigma_1-\sigma_2)(\sigma-\sigma_1+\sigma_2)=\sigma^2-(\sigma_1-\sigma_2)^2\))
\[ \boxed{h = 2r\,\sqrt{\frac{\sigma_1+\sigma_2-\sigma}{\sigma_1+\sigma_2+\sigma}\cdot \frac{\sigma^2}{\sigma^2-(\sigma_1-\sigma_2)^2}}} \]