Капилляр радиуса \(R\) опускают в смачивающую жидкость с поверхностным натяжением \(\sigma\) и плотностью \(\rho\). Определите высоту, на которую поднимется жидкость. Определите работу, совершённую силами поверхностного натяжения, и потенциальную энергию жидкости в капилляре. Почему эти величины не совпадают?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Высота (формула Жюрена). Плёнка по окружности \(2\pi R\) держит столб:
\[ 2\pi R\sigma = \rho g\,\pi R^2 h \quad\Longrightarrow\quad \boxed{h = \frac{2\sigma}{\rho g R}} \]Работа плёнки. Сила \(F=2\pi R\sigma\) не меняется, путь \(h\):
\[ A = 2\pi R\sigma\cdot h = 2\pi R\sigma\cdot\frac{2\sigma}{\rho gR} = \boxed{\frac{4\pi\sigma^2}{\rho g}} \]Потенциальная энергия поднятого столба (центр тяжести на высоте \(h/2\)):
\[ U = \rho g\pi R^2 h\cdot\frac h2 = \frac{\rho g\pi R^2h^2}{2} = \boxed{\frac{2\pi\sigma^2}{\rho g}} \]Почему \(U = A/2\). Пока жидкость поднимается, сила плёнки постоянна, а противодействующий вес растёт линейно. Значит на первой половине пути есть избыток силы — жидкость разгоняется, потом тормозится, колеблется около равновесия и в конце концов останавливается, потеряв на вязкое трение ровно половину работы:
\[ Q = A - U = \frac{2\pi\sigma^2}{\rho g}. \]