Чему равна напряжённость поля равномерно заряженной нити длины \(l\) на прямой, которая является продолжением нити, на расстоянии \(x\) от ближайшего её конца? Заряд единицы длины \(\rho\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть \(y\) — расстояние от нашей точки до элемента \(dy\). Тогда \(y\) бежит от \(x\) до \(x+l\), \(dq=\rho\,dy\): \[ E=\int_x^{x+l}\frac{\rho\,dy}{4\pi\varepsilon_0 y^2} =\frac{\rho}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac1x-\frac1{x+l}\Bigr) =\frac{\rho l}{4\pi\varepsilon_0 x(x+l)}. \]
Интеграл \(\int dy/y^2\) — это просто \(1/y\). Поле нити на её продолжении есть разность полей двух «полубесконечных» лучей, начинающихся в ближнем и дальнем концах. Отсюда сразу \(E\propto(1/x-1/(x+l))\). Тот же ответ даёт потенциал: \(\varphi=(\rho/4\pi\varepsilon_0)\ln[(x+l)/x]\), и \(E=-d\varphi/dx\).
При \(x=l\) (точка на расстоянии длины нити от конца) \(E=\rho/(8\pi\varepsilon_0 l)\) — вдвое меньше, чем было бы у заряда \(\rho l\), сидящего в ближнем конце. Дальний конец ещё чувствуется. При \(x=0{,}1l\) поле уже в десять раз сильнее, чем эта оценка, — ближний край доминирует.