Чему равна напряжённость электрического поля в центре равномерно заряженного тонкого кольца радиуса \(R\)? На оси кольца на расстоянии \(h\) от центра? Заряд кольца \(Q\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Центр. По симметрии \(E=0\).
Ось. Элемент \(dq\) находится на расстоянии \(\sqrt{R^2+h^2}\) от точки. Полное \(dE=k\,dq/(R^2+h^2)\), осевая проекция содержит косинус \(h/\sqrt{R^2+h^2}\): \[ dE_\parallel=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq\cdot h}{(R^2+h^2)^{3/2}}. \] Интегрируем \(dq=Q\): \[ E=\frac{Qh}{4\pi\varepsilon_0(R^2+h^2)^{3/2}}. \] Направление — от кольца, если \(Q>0\) и мы на положительной полуоси.
Максимум на оси ищется из \(dE/dh=0\). Логарифмическая производная \((R^2+h^2)^{-3/2}h\) даёт \(h=R/\sqrt{2}\), и \(E_{\max}=Q/(6\pi\sqrt{3}\,\varepsilon_0 R^2)\approx0{,}385\cdot Q/(4\pi\varepsilon_0 R^2)\). То есть самое сильное поле на оси — чуть больше трети поля того же заряда, собранного в точку на расстоянии \(R\).
Кольцо радиуса 10 см с зарядом 1 нКл: в максимуме \(E\approx0{,}35\) В/м — слабое лабораторное поле. В центре строго ноль, и это не приближение: любой диаметрально противоположный элемент гасит пару точно, а не «в среднем».