Семь одинаковых зарядов \(q\) связаны друг с другом одинаковыми упругими нитями так, как показано на рисунке. Расстояние между ближайшими зарядами \(l\). Определите силу натяжения каждой нити.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
У вершины три нити: одна к центру и две по сторонам шестиугольника (угол \(120^\circ\)). Радиальная проекция натяжений к центру \[ T+2T\cos60^\circ=2T. \]
Кулон наружу. Центр: \(kq^2/l^2\). Два ближайших соседа: силы по сторонам, их радиальные проекции взаимно учитываются вместе с геометрией; аккуратно:
- центр — \(kq^2/l^2\) от центра (наружу, одноимённые);
- два соседа на \(l\) — каждая сила под \(30^\circ\) к касательной, радиальная наружу \(kq^2/l^2\cdot\cos60^\circ=kq^2/(2l^2)\), вместе \(kq^2/l^2\);
- противоположный на \(2l\) — \(kq^2/(4l^2)\);
- два «через одного» на \(l\sqrt{3}\) — радиальная проекция \(kq^2/(3l^2)\cdot\cos30^\circ=kq^2\sqrt{3}/(6l^2)\), вместе \(kq^2\sqrt{3}/(3l^2)\).
Итого \[ 2T=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 l^2}\Bigl(1+1+\frac14+\frac{\sqrt{3}}{3}\Bigr) =\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 l^2}\Bigl(\frac94+\frac{\sqrt{3}}{3}\Bigr), \] \[ T=\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 l^2}\Bigl(\frac94+\frac{\sqrt{3}}{3}\Bigr). \]
Двенадцать нитей и семь зарядов — кажется много, но симметрия оставляет одну неизвестную \(T\). Центральный заряд можно не писать: шесть одинаковых нитей тянут его в шесть сторон, сумма нуль сама. Вся информация сидит в радиальной проекции вершины. Слагаемые \(1+1+1/4+\sqrt{3}/3=2{,}827\): ближние дают почти всё, дальний «через диаметр» — лишь четверть, «через один» — по \(\sqrt{3}/6\) каждый.
Если убрать центр, останется голый шестиугольник, и радиальная проекция натяжений станет \(T\) вместо \(2T\). Натяжение упадёт примерно вдвое, но не точно: исчезнет ещё кулоновский вклад центра. Формула это умеет — достаточно вычеркнуть единицу, отвечающую центру.