Два заряда \(q\), соединённых резиновыми шнурами с неподвижными стенками так, как показано на рисунке, находятся на расстоянии \(2a\) друг от друга. Расстояние между стенками \(2l\), длина каждого недеформированного шнура \(l\). Определите их жёсткость.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Длина шнура \(\sqrt{l^2+a^2}\), удлинение \(\sqrt{l^2+a^2}-l\), натяжение \(k(\sqrt{l^2+a^2}-l)\). Косинус наклона \(a/\sqrt{l^2+a^2}\). На один заряд работают четыре шнура, но по горизонтали — две пары (верх и низ с каждой «своей» вертикали; в типичном рисунке у каждого заряда два шнура — вверх и вниз — и ещё он связан... по условию «как на рисунке»: каждый заряд привязан к верхней и нижней стенке, итого два шнура на заряд, четыре на систему). Горизонтальная проекция двух шнуров одного заряда: \[ 2k\bigl(\sqrt{l^2+a^2}-l\bigr)\frac{a}{\sqrt{l^2+a^2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{(2a)^2}. \] Отсюда \[ k=\frac{q^2\sqrt{a^2+l^2}}{32\pi\varepsilon_0 a^3\bigl(\sqrt{a^2+l^2}-l\bigr)}. \]
Геометрия шнура — теорема Пифагора, ничего больше. Удлинение \(\sqrt{l^2+a^2}-l\) при малом \(a\) есть \(a^2/(2l)\), и жёсткость должна быть большой: иначе слабый шнур не удержит заряды на конечном расстоянии против кулона \(\propto 1/a^2\). Отсюда \(k\propto 1/a^4\) в этом пределе — очень крутая зависимость.
Обратный предел \(a\gg l\): шнуры почти горизонтальны, удлинение \(\approx a-l\approx a\), и \(k\approx q^2/(32\pi\varepsilon_0 a^3)\). Чем дальше разъехались, тем слабее кулон и тем мягче могут быть шнуры. Оба конца формулы читаются без нового интегрирования.