Какой минимальный заряд \(q\) нужно закрепить в нижней точке сферической полости радиуса \(R\), чтобы в поле тяжести небольшой шарик массы \(m\) и заряда \(Q\) находился в верхней точке полости в положении устойчивого равновесия?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Отметим угол \(\alpha\) от верхней точки (шарик скользит по сфере). Высота от нижней точки \(R(1+\cos\alpha)\), потенциальная энергия тяжести \(mgR\cos\alpha\) (отсчёт от центра; константа не важна). Расстояние между зарядами \[ d=2R\cos(\alpha/2). \] Полная потенциальная энергия \[ U(\alpha)=mgR\cos\alpha+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qQ}{2R\cos(\alpha/2)}. \]
При \(\alpha=0\) первая производная нуль по симметрии. Вторая: \[ U''(0)=-mgR+\frac{qQ}{32\pi\varepsilon_0 R}. \] Для минимума нужно \(U''(0)>0\): \[ q_{\min}=\frac{32\pi\varepsilon_0 mg R^2}{Q}. \]
Геометрия сферы дестабилизирует (как перевёрнутый маятник), и запас по заряду как раз покрывает эту дестабилизацию: просто «подпереть» без связи хватило бы вдвое меньшего заряда.
Почему именно 32, а не 16? Чтобы просто уравновесить вес на вершине, хватило бы \(q_0=16\pi\varepsilon_0 mg R^2/Q\): кулон на диаметре \(2R\) равен \(mg\). Но сфера под шариком уходит вниз, как горка, и любая боковая подвижка роняет его. Запас ровно вдвое — плата за кривизну. Это тот же сюжет, что у шарика на выпуклой горке: мало подпереть, надо ещё сделать ямку.
Числа. Шарик \(m=0{,}1\) г, \(Q=10\) нКл, \(R=5\) см: \(q_{\min}\approx2{,}2\cdot10^{-8}\) Кл — обычный заряд натёртой бузины. Если \(Q\) того же знака уменьшить, \(q_{\min}\) растёт: слабее «пробник» — нужен сильнее упор.