Вокруг заряда \(q\) вращаются по круговой орбите, располагаясь в углах квадрата со стороной \(l\), четыре одинаковых частицы массы \(m\) и заряда \(-q\) каждая. Заряд \(q\) — в центре квадрата. Определите угловую скорость.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
К центру тянет центральный \(+q\). Расстояние \(l/\sqrt{2}\), сила \[ F_{\text{ц}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{l^2/2}=\frac{2kq^2}{l^2}. \]
Наружу толкают свои. Противоположная частица на диагонали \(l\sqrt{2}\): \[ F_{\text{пр}}=\frac{kq^2}{2l^2}. \] Две соседние на расстоянии \(l\); угол между стороной и диагональю \(45^\circ\), радиальная проекция каждой \(kq^2/(l^2\sqrt{2})\), вместе \(kq^2\sqrt{2}/l^2\).
Равнодействующая к центру \[ F=\frac{kq^2}{l^2}\Bigl(2-\frac12-\sqrt{2}\Bigr)=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 l^2}\Bigl(\frac32-\sqrt{2}\Bigr) =\frac{q^2(3\sqrt{2}-4)}{8\pi\varepsilon_0 l^2\sqrt{2}}. \]
Из \(m\omega^2 r=F\) и \(r=l/\sqrt{2}\): \[ \omega=q\sqrt{\frac{3\sqrt{2}-4}{8\pi\varepsilon_0 m l^3}}. \]
Скобку \(3\sqrt{2}-4\) полезно разложить по ролям. Центр даёт \(+2\) (в единицах \(kq^2/l^2\)), противоположная частица \(-1/2\), две соседние \(-\sqrt{2}\). Побеждает центр: \(2-0{,}5-1{,}41=0{,}09\) в этих единицах, после приведения к ответу — тот же \(0{,}242\). Запас маленький: хватит чуть уменьшить центральный заряд — и квадрат разлетится.
Если убрать соседей и оставить только центр, \(\omega_0=q\sqrt{2/(4\pi\varepsilon_0 m (l/\sqrt{2})^3)}\) было бы раза в три больше. Отталкивание своих сильно «смягчает» связь. При \(q=1\) нКл, \(m=1\) г, \(l=10\) см выходит \(\omega\sim0{,}3\) рад/с — медленное лабораторное вращение, не атом.