В атоме водорода электрон движется вокруг протона с угловой скоростью \(10^{16}\) рад/с. Найдите радиус орбиты.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Отсюда \[ r^3=\frac{ke^2}{m\omega^2},\qquad r=\Bigl(\frac{ke^2}{m\omega^2}\Bigr)^{1/3}. \] Подставляем \(k=9\cdot10^9\), \(e^2=(1{,}6\cdot10^{-19})^2=2{,}56\cdot10^{-38}\), \(m=9{,}1\cdot10^{-31}\) кг, \(\omega=10^{16}\) с\(^{-1}\): \[ r=\Bigl(\frac{9\cdot10^9\cdot2{,}56\cdot10^{-38}}{9{,}1\cdot10^{-31}\cdot10^{32}}\Bigr)^{1/3} =\Bigl(\frac{2{,}30\cdot10^{-28}}{9{,}1\cdot10^{-31}\cdot10^{32}}\Bigr)^{1/3} =\bigl(2{,}5\cdot10^{-30}\bigr)^{1/3} =1{,}4\cdot10^{-10}\ \text{м}=1{,}4\cdot10^{-8}\ \text{см}. \]
Ту же формулу даёт третий закон Кеплера для кулонова поля: \(\omega^2 r^3=ke^2/m=\mathrm{const}\). Зная \(\omega\), сразу читаем \(r\). Численно \(\omega=10^{16}\) рад/с — это период \(0{,}6\) фс, частота света ультрафиолета; атомный масштаб неизбежен.
Боровская первая орбита: \(r_B=0{,}53\) Å, \(\omega_B=4{,}1\cdot10^{16}\) рад/с. Наше \(\omega\) меньше в 4 раза, значит \(r\) больше в \(4^{2/3}\approx2{,}5\) раза: \(0{,}53\cdot2{,}5\approx1{,}3\) Å. Сошлось с прямым счётом \(1{,}4\) Å. Классическая орбита здесь — учебная модель: реальный атом сидит на стационарных уровнях, но порядок радиуса формула ловит.