Четыре положительных заряда \(Q,q,Q,q\) связаны четырьмя нитями так, как показано на рисунке. Длина каждой нити \(l\). Определите углы между нитями.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть угол при заряде \(q\) равен \(\beta\), при \(Q\) — \(\alpha=\pi-\beta\). Диагонали \[ d_{QQ}=2l\sin(\beta/2),\qquad d_{qq}=2l\sin(\alpha/2). \]
Проецируем силы на биссектрису угла при \(q\) и при \(Q\). Кулоновские силы идут вдоль диагоналей, натяжения — вдоль сторон. Деля одно уравнение равновесия на другое, натяжение сокращается и остаётся \[ \operatorname{tg}\frac{\beta}{2}=\Bigl(\frac{q}{Q}\Bigr)^{2/3}. \] Поэтому \[ \beta=2\operatorname{arctg}\Bigl(\frac{q}{Q}\Bigr)^{2/3},\qquad \alpha=\pi-\beta. \]
Если \(q>Q\), угол при \(q\) тупой: большие заряды \(q\) сильнее расталкиваются и «открывают» свой угол.
Показатель \(2/3\) появляется из баланса «кулон \(\propto qQ/d^2\)» против «проекции натяжения \(\propto T\sin(\beta/2)\)» и связи диагоналей с углами. После деления двух уравнений \(T\) уходит, остаётся \((q/Q)^{2/3}\). Это не произвол: у кулона степень \(-2\), у геометрии ромба — синусы половинных углов, вместе и выходит треть.
Предел \(q\gg Q\): \(\beta\to\pi\), ромб сплющивается в отрезок, большие \(q\) разлетаются по диагонали. Предел \(q\ll Q\): \(\beta\to0\), ромб вытягивается в линию вдоль \(QQ\). Оба конца формулы ведут себя разумно, и при \(q=Q\) она честно возвращает квадрат.