Четыре положительных заряда \(q,Q,q,Q\) связаны пятью нитями так, как показано на рисунке. Длина каждой нити \(l\). Определите силу натяжения нити, связывающей заряды \(Q>q\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Диагональ \(qq\) в двух равносторонних треугольниках равна \(l\sqrt{3}\). Пусть \(T_1\) — натяжение боковой нити \(Qq\), \(T\) — искомое натяжение \(QQ\).
Равновесие заряда \(q\) по горизонтали. Две боковые нити дают равнодействующую \(T_1\sqrt{3}\) к центру (угол между ними \(60^\circ\), биссектриса горизонтальна). Наружу толкают два заряда \(Q\) (каждый на расстоянии \(l\)) и дальний \(q\) (на \(l\sqrt{3}\)). Проекция двух сил от \(Q\) как раз вдоль горизонтали и равна \(kqQ\cdot\sqrt{3}/l^2\), от дальнего \(q\) — \(kq^2/(3l^2)\). После приведения \[ T_1=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0 l^2}\Bigl(Qq+\frac{q^2}{3\sqrt{3}}\Bigr). \]
Равновесие заряда \(Q\) вдоль вертикальной диагонали: отталкивание другого \(Q\), два боковых \(q\), натяжение \(T\) и проекции двух \(T_1\). Подставляя \(T_1\), получаем \[ T=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0 l^2}\Bigl(Q^2-\frac{q^2}{3\sqrt{3}}\Bigr). \]
Ответ для \(T\) можно увидеть так. Нить \(QQ\) держит прямое отталкивание двух \(Q\) и чуть разгружается тем, что боковые \(q\) «распирают» ромб в стороны и через боковые нити тянут \(Q\) друг к другу. Вычитаемое \(q^2/(3\sqrt{3})\) — как раз этот косвенный вклад дальних \(q\). Пока \(Q\) заметно больше \(q\), прямое отталкивание побеждает и нить натянута.
При \(Q=q\) получаем \(T=kq^2/l^2\cdot(1-1/(3\sqrt{3}))\approx0{,}81\,kq^2/l^2>0\): даже равные заряды нить \(QQ\) не обмякивают. Обмякает она лишь при \(Q/q=3^{-3/4}\approx0{,}44\), что уже вне условия \(Q>q\). Формула внутри заявленной области безопасна.