Два одинаково заряженных шарика массы \(m\), подвешенных в одной точке на нитях длины \(l\), разошлись так, что угол между нитями стал прямым. Определите заряд шариков.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
На каждый шарик действуют вес \(mg\), натяжение \(T\) и кулон \(kq^2/r^2\). Проекции: \[ T\cos45^\circ=mg,\qquad T\sin45^\circ=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{r^2}. \] Делим второе на первое: \(\operatorname{tg}45^\circ=1\), поэтому \(mg=kq^2/r^2\). Расстояние между шариками — гипотенуза: \[ r=2\cdot l\cdot\sin45^\circ=l\sqrt{2}. \] Тогда \[ mg=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{2l^2},\qquad q^2=8\pi\varepsilon_0 mgl^2,\qquad q=l\sqrt{8\pi\varepsilon_0 mg}. \]
Можно не писать натяжение. Равнодействующая веса и кулона идёт вдоль нити, значит треугольник сил подобен геометрическому: катет \(mg\), катет \(kq^2/r^2\), угол \(45^\circ\), поэтому они равны. Дальше только \(r=l\sqrt{2}\). Так быстрее, и \(T\) вообще не появляется.
Оценка. Шарики \(m=1\) г на нитях \(l=10\) см: \(q=l\sqrt{8\pi\varepsilon_0 mg}\approx2\cdot10^{-8}\) Кл — типичный заряд наэлектризованной бузины. Если угол был бы острым, заряд был бы меньше (\(\operatorname{tg}(\alpha/2)\) вместо единицы), и формула обобщается сразу: \(q=2l\sin(\alpha/2)\sqrt{4\pi\varepsilon_0 mg\operatorname{tg}(\alpha/2)}\).