На концах горизонтальной трубы длины \(l\) закреплены положительные заряды \(q_1\) и \(q_2\). Найдите положение равновесия шарика с положительным зарядом \(q\), который помещён внутрь трубы. Устойчиво ли это положение? Будет ли положение равновесия отрицательно заряженного шарика устойчивым?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть до \(q_1\) расстояние \(x\), тогда до \(q_2\) остаётся \(l-x\). Силы вдоль трубы: \[ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q}{x^2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_2 q}{(l-x)^2}. \] Заряд \(q\) сокращается (пока он не ноль). Берём корень: \[ \frac{\sqrt{q_1}}{x}=\frac{\sqrt{q_2}}{l-x}\qquad\Longrightarrow\qquad x=\frac{l\sqrt{q_1}}{\sqrt{q_1}+\sqrt{q_2}}. \]
Шарик сидит ближе к меньшему заряду — тот слабее толкает, и расстояние это компенсирует.
Устойчивость. Пусть \(q>0\). Сдвинули вправо, к \(q_2\): отталкивание от \(q_2\) выросло, от \(q_1\) упало — равнодействующая гонит назад. Положение устойчивое. Если \(q<0\), обе силы — притяжения, и ближний заряд тянет сильнее: любой сдвиг нарастает. Неустойчиво. Это одномерный кусочек теоремы Ирншоу: в пустом электростатическом поле нет устойчивых точек для свободного заряда, если связь не держит его на прямой между двумя отталкивающими центрами.
Равновесие можно прочитать через потенциалы. На оси двух зарядов \(E(x)\propto q_1/x^2-q_2/(l-x)^2\), нуль этого выражения и есть наша точка. Для \(+q\) потенциальная энергия \(q\varphi\) имеет там минимум (поле меняет знак с «вправо» на «влево»), для \(-q\) — максимум. Отсюда устойчивость без стрелочек сил: знак второй производной \(\varphi\).
Числа. При \(q_1=4q_2\) имеем \(x=2l/3\): шарик вдвое дальше от меньшего заряда, и \(1/x^2\) как раз компенсирует отношение зарядов 4. При \(q_2/q_1\to\infty\) точка садится к левому концу. Оба предела читаются с формулы сразу, без нового решения.