а. Равномерно заряженную сферу вместе с закреплёнными на её поверхности зарядами сжали в одном направлении в \(n\) раз, превратив её в эллипсоид. Докажите, что поле внутри эллипсоида равно нулю. Для доказательства разбейте поверхность на пары малых площадок, как на рисунке.
б. Будет ли по-прежнему отсутствовать поле внутри длинной круглой трубы с равномерно заряженной поверхностью, если её вместе с закреплёнными зарядами сжать в поперечном направлении?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Возьмём внутри сферы точку и проведём через неё луч. Он высекает две площадки \(dS_1\) и \(dS_2\). Заряды на них пропорциональны площадям, площади пропорциональны \(r^2\) (один и тот же телесный угол), поэтому \(dq_1/r_1^2=dq_2/r_2^2\). Поля противоположны и равны по модулю — сумма ноль. Так для любого луча.
Сожмём всё вместе с зарядами в одном направлении. Расстояния вдоль оси сжатия умножились на \(1/n\), площади и телесные углы преобразовались одинаково для обеих площадок пары. Равенство \(dq/r^2\) сохранилось, поля по-прежнему гасят друг друга. Внутри эллипсоида \(E=0\).
б. Круглая труба — цилиндрический предел «очень большой сферы». Поперечное сжатие — та же аффинная деформация в плоскости сечения. Пары образующих по-прежнему гасятся. Поле внутри остаётся нулём. Да.
Аффинный аргумент работает шире, чем кажется. Любое однородное сжатие, растяжение или даже сдвиг переводит сферу в эллипсоид и сохраняет попарную компенсацию площадок. Поэтому внутри любого однородно заряженного по поверхности эллипсоида поле нуль — не только у «сплюснутого в одном направлении».
Для трубы то же в двух измерениях: окружность сечения при сжатии становится эллипсом, пары дуг по-прежнему гасятся. Если бы заряд мог перетекать (проводящая труба), он после сжатия перераспределился бы, и поле внутри осталось бы нулём уже по другой причине — эквипотенциальность полости. В условии заряды приклеены, но ответ тот же. Совпадение не случайно: оба механизма опираются на симметрию пар.