а. Металлическое кольцо разорвалось кулоновскими силами, когда заряд кольца был равен \(Q\). Сделали такое же новое кольцо, но из материала, прочность которого в десять раз больше. Какой заряд разорвёт новое кольцо?
б. Какой заряд разорвёт новое кольцо из прежнего материала, если все размеры нового кольца в три раза больше?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Линейная плотность \(\lambda=Q/(2\pi R)\). Сила, с которой одно полукольцо действует на другое, \(F\sim kQ^2/R^2\) (точнее, \(kQ^2/(\pi R^2)\), нам важен только масштаб). Два сечения делят её пополам: \(T\sim Q^2/R^2\). Предел \[ \frac{T}{s}=[\sigma]. \]
а. Геометрия та же, прочность в десять раз выше. Чтобы \(T\) выросло в 10 раз, \(Q^2\) должно вырасти в 10 раз: \[ q=\sqrt{10}\,Q. \]
б. Все размеры втрое: \(R\to3R\), площадь сечения \(s\to9s\) (и толщина, и ширина). Напряжение \[ \frac{T}{s}\sim\frac{Q^2}{R^2 s}. \] Хотим то же \([\sigma]\): \[ \frac{Q'^2}{(3R)^2\cdot9s}=\frac{Q^2}{R^2 s}\qquad\Longrightarrow\qquad Q'^2=81 Q^2,\qquad q=9Q. \]
Точная сила полуколец \(F=Q^2/(4\pi^2\varepsilon_0 R^2)\), не просто «порядка \(kQ^2/R^2\)». Для отношения зарядов точность не нужна: \(Q^2\) и \(R^2 s\) входят одинаково в обе ситуации, и коэффициент сокращается. Поэтому \(\sqrt{10}\) и \(9\) — точные ответы, не оценки.
Ещё один масштабный ход. Напряжение \(\propto Q^2/(R^2 s)\). Прочность — материал, не геометрия. В «а» меняется только прочность, \(Q\propto\sqrt{[\sigma]}\). В «б» все длины \(\times3\), площадь сечения \(\times9\), \(R^2 s\times 81\), значит \(Q\times9\). Если бы увеличили только радиус, оставив толщину, ответ был бы \(q=3Q\). «Все размеры» — ключевые слова.