а. Напряжённость однородного поля равна \(E\). Чему равен поток через квадрат со стороной \(l\), плоскость которого расположена под углом \(30^\circ\) к направлению поля?
б. Найдите отрицательные и положительные потоки однородного поля \(E\) через замкнутую поверхность прямой трёхгранной призмы высоты \(h\). Передняя грань ширины \(h\) перпендикулярна \(E\), нижняя грань параллельна \(E\).
в*. Докажите, что поток однородного поля через любую замкнутую поверхность равен нулю.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Плоскость квадрата составляет \(30^\circ\) с \(\mathbf{E}\). Значит нормаль к квадрату составляет с \(\mathbf{E}\) угол \(60^\circ\). Площадь \(S=l^2\), \[ \Phi=El^2\cos60^\circ=\frac12 El^2. \]
б. Передняя грань площади \(h\cdot h=h^2\) перпендикулярна полю, нормаль против \(\mathbf{E}\) (линии входят) — поток \(\Phi_-=-Eh^2\). Нижняя грань параллельна полю, \(\cos90^\circ=0\), поток нуль. Две наклонные вместе выпускают ровно столько же линий, сколько вошло спереди: \[ \Phi_+=Eh^2. \]
в. Однородное поле \(\mathbf{E}=\mathrm{const}\). Поток через замкнутую поверхность \[ \oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=\mathbf{E}\cdot\oint d\mathbf{S}. \] Векторная площадь замкнутой поверхности равна нулю: у каждой проекции «перед» и «зад» сокращаются. Поэтому поток нуль. Словами: сколько линий вошло, столько и вышло — внутри однородного поля линии не рождаются и не гибнут.
Угол плоскости с полем и угол нормали с полем — разные вещи, и здесь как раз ловушка. Плоскость «почти вдоль» поля (\(30^\circ\)) значит нормаль «почти поперёк» (\(60^\circ\)), и поток — половина от максимального. Если кто-то поставит \(\cos30^\circ\), получит \(\sqrt{3}/2\) вместо \(1/2\): типичная ошибка на баллах.
Пункт «в» — это векторная теорема: \(\oint d\mathbf{S}=0\) для любой замкнутой поверхности, хоть чайник, хоть бублик. Однородное поле выносится за интеграл, поток исчезает. Словами: линия, вошедшая в тело, обязанная выйти, потому что ей негде закончиться — зарядов внутри нет, поле нигде не рождается.