Чему равен поток однородного поля через боковую поверхность усечённого конуса, радиусы сечений \(R\) и \(r\)? Поле \(E\) составляет угол \(\alpha\) с осью конуса.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Закроем усечённый конус двумя основаниями и направим нормали наружу. Большой круг смотрит «вниз по оси», малый — «вверх». Проекция \(\mathbf{E}\) на ось есть \(E\cos\alpha\), поэтому \[ \Phi_R=E\cos\alpha\cdot\pi R^2,\qquad \Phi_r=-E\cos\alpha\cdot\pi r^2. \] Полный поток нуль, боковой \[ \Phi_{\text{бок}}=-(\Phi_R+\Phi_r)=E\cos\alpha\cdot\pi(r^2-R^2). \] Если условились считать поток «сквозь бок по направлению поля» без знака наружу, берут модуль \(\pi(R^2-r^2)E\cos\alpha\). Обычно в задачниках пишут \[ \Phi=E\cos\alpha\cdot\pi(R^2-r^2) \] — поток через бок, если нормаль ориентировать так, чтобы он был положительным при \(R>r\).
Считать поток через бок усечённого конуса напрямую — мучение: нормаль гуляет, и \(E\cos\theta\) на каждой образующей свой. Замыкание двумя кругами превращает задачу в арифметику площадей. Знак: если \(R>r\) и поле смотрит от большого основания к малому, линии входят в большой круг и выходят через бок, поток через бок положителен в нашей ориентации «по полю».
Предел \(r\to0\) — полный конус: \(\Phi=\pi R^2 E\cos\alpha\), как через одно основание. Предел \(\alpha=0\) — поле вдоль оси, поток максимален. Оба конца формулы живые, интегрировать бок по-прежнему не нужно.