Энергия \(W\) любой системы связана с массой этой системы соотношением Эйнштейна \(W=mc^2\). Следовательно, электрическое поле обладает массой. Предположим, что вся масса электрона «электрическая». Определите «классический» радиус электрона, считая, что заряд электрона распределён по его поверхности.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Электрон моделируем сферой радиуса \(r\) с зарядом \(e\), размазанным по поверхности. Энергия её поля (задача 6.5.15) \[ W=\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r}. \] По Эйнштейну \(W=m_e c^2\). Приравниваем: \[ \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r}=m_e c^2\qquad\Longrightarrow\qquad r=\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 m_e c^2}. \] Числа: \(e=1{,}6\cdot10^{-19}\) Кл, \(1/(4\pi\varepsilon_0)=9\cdot10^9\), \(m_e=9{,}1\cdot10^{-31}\) кг, \(c=3\cdot10^8\) м/с. \[ \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}=2{,}3\cdot10^{-28},\qquad m_e c^2=8{,}2\cdot10^{-14}\ \text{Дж}, \] \[ r=\frac{2{,}3\cdot10^{-28}}{2\cdot 8{,}2\cdot10^{-14}}=1{,}4\cdot10^{-15}\ \text{м}. \]
Часто пишут «классический радиус» \(r_0=e^2/(4\pi\varepsilon_0 m_e c^2)=2{,}8\) фм — без двойки в знаменателе, как будто \(W=e^2/(4\pi\varepsilon_0 r)\). Это вопрос о том, считать заряд поверхностным или пользоваться другой нормировкой. В нашей задаче заряд по поверхности, и правильный ответ \(1{,}4\cdot10^{-15}\) м.
Классический радиус — не размер электрона, а масштаб, на котором электромагнитная энергия поля сравнялась бы с \(mc^2\). Выбор предфактора (с двойкой или без) меняет число в два раза: \(1{,}4\) или \(2{,}8\) фм. Это размер атомного ядра, не атома: атом на пять порядков больше.
Реальный электрон точечнее любых классических оценок. Опыт проверяет кулон до \(10^{-18}\) м (задача 6.5.17), и никакой «твёрдой сферы» там нет. Классический радиус остаётся удобной планкой: если теория даёт самодействие больше \(mc^2\) на больших масштабах, в ней что-то не так — или нужна перенормировка.