В экспериментах на ускорителях проверено, что взаимодействие электронов вплоть до расстояний \(10^{-16}\) см подчиняется закону Кулона. Используя решение задачи 6.5.16, определите, во сколько раз масса электрического поля вне сферы радиуса \(10^{-16}\) см больше массы электрона.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Кулон проверен до \(10^{-16}\) см \(=10^{-18}\) м. Значит, вплоть до этой сферы поле — кулоново, и его энергия \[ W(R)=\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 R}. \] Масса этого поля \(m_{\text{поля}}=W/c^2\). В задаче 6.5.16 мы как раз имели \(m_e c^2=e^2/(8\pi\varepsilon_0 r_c)\) при \(r_c=1{,}4\cdot10^{-15}\) м. Поэтому \[ \frac{m_{\text{поля}}}{m_e}=\frac{W(R)}{m_e c^2}=\frac{r_c}{R} =\frac{1{,}4\cdot10^{-15}}{10^{-18}}=1{,}4\cdot10^3\approx 1400. \]
Поле вне \(10^{-16}\) см уже «весит» в 1400 раз больше самого электрона. Парадокс снимается квантовой электродинамикой: на таких масштабах электрон окружён облаком виртуальных пар, и наивная классическая энергия поля не обязана равняться \(mc^2\).
Переведём в массы. \(m_e=9{,}1\cdot10^{-31}\) кг, поле вне \(10^{-18}\) м «весит» \(1400\,m_e\approx 1{,}3\cdot10^{-27}\) кг. Это уже масса почти двух протонов. Классическая электродинамика с точечным электроном внутренне противоречива: электромагнитная масса наружного поля больше наблюдаемой. Отсюда и нужна квантовая перенормировка.
Энергия кулонова поля вне сферы радиуса \(R\) есть \(e^2/(8\pi\varepsilon_0 R)\). Отношение к \(m_e c^2\) равно \(r_c/R\). При \(R=10^{-18}\) м и \(r_c=1{,}4\cdot10^{-15}\) м получаем 1400. Поле «снаружи уже проверенной области» весит как полторы тысячи электронов — абсурд, если понимать его классически.
КЭД снимает парадокс: на малых масштабах вакуум поляризуется, заряд экранируется, наивный интеграл \(E^2\) нельзя отождествлять с инертной массой. Порядок тысячи — напоминание, что классическая электродинамика точечного заряда внутренне больна, и это известно с начала XX века.