Энергия поля равномерно заряженного шара радиуса \(R\), заряд \(Q\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Равномерно заряженный шар, заряд \(Q\), радиус \(R\). Снаружи \[ E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2},\qquad W_{\text{нар}}=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R} \] — как у сферы. Внутри по Гауссу \(E\cdot 4\pi r^2=Q(r^3/R^3)/\varepsilon_0\), \[ E(r)=\frac{Q r}{4\pi\varepsilon_0 R^3}. \] Энергия внутри \[ W_{\text{вн}}=\int_0^R\frac{\varepsilon_0 E^2}{2}\,4\pi r^2\,dr =\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R^6}\int_0^R r^4\,dr =\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R^6}\cdot\frac{R^5}{5} =\frac{Q^2}{40\pi\varepsilon_0 R}. \] Полная энергия \[ W=W_{\text{нар}}+W_{\text{вн}}=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}+\frac{Q^2}{40\pi\varepsilon_0 R} =\frac{5Q^2+Q^2}{40\pi\varepsilon_0 R}=\frac{3Q^2}{20\pi\varepsilon_0 R}. \]
У шара энергия больше, чем у сферы с тем же зарядом: часть поля сидит внутри. Отношение \(W_{\text{шар}}/W_{\text{сфера}}=(3/20)/(1/8)=6/5=1{,}2\).
Численно: шар \(R=10\) см, \(Q=1\) мкКл. Энергия сферы с тем же зарядом \(1{,}5\cdot10^{-2}\) Дж, энергия шара \(1{,}8\cdot10^{-2}\) Дж. Лишние 3 мДж сидят внутри — там поле растёт от нуля в центре до \(Q/(4\pi\varepsilon_0 R^2)\) на поверхности, и \(\int w\,dV\) по шару даёт как раз пятую часть наружной энергии.
Снаружи шар неотличим от сферы, \(W_{\text{нар}}=Q^2/(8\pi\varepsilon_0 R)\). Внутри \(E\propto r\), \(w\propto r^2\), интеграл по шару даёт пятую часть наружной энергии: \(W_{\text{вн}}=W_{\text{нар}}/5\). Сумма \(6/5\) от сферической, то есть \(3Q^2/(20\pi\varepsilon_0 R)\).
Второй путь через \(\tfrac12\int\rho\varphi\,dV\) использует известный параболический потенциал внутри шара и даёт то же. Два независимых интеграла — одна формула. При \(R\to\infty\) энергия нуль: размазали заряд. При \(R\to0\) — бесконечность: точечный заряд классически запрещён.