Работа против электрических сил, чтобы уменьшить вдвое радиус заряженной сферы? Было \(R\), заряд \(Q\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Заряд \(Q\) сидит на сфере и при сжатии остаётся на ней (проводящая сфера или заряд, «приклеенный» к поверхности). Начальная энергия \(W_i=Q^2/(8\pi\varepsilon_0 R)\), конечная \(W_f=Q^2/(8\pi\varepsilon_0\cdot R/2)=2W_i\). Работа внешних сил против электрического расталкивания \[ A=W_f-W_i=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}. \] Это в точности начальная энергия: сжать сферу вдвое стоит столько же, сколько её «создать».
Можно интегрировать давление. На радиусе \(r\) давление \(P=Q^2/(32\pi^2\varepsilon_0 r^4)\), сила на всю поверхность \(F=P\cdot 4\pi r^2=Q^2/(8\pi\varepsilon_0 r^2)\), работа \[ A=\int_{R}^{R/2}(-F)\,dr=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0}\int_{R/2}^{R}\frac{dr}{r^2} =\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}. \] Тот же ответ. Знак: мы идём против силы, \(dr<0\), работа положительна.
Тот же ответ из задачи 6.5.21: все размеры \(\times 1/2\), заряд тот же, энергия \(\times 2\), работа равна начальной энергии. Универсально: сжать любое заряженное тело вдвое при фиксированном \(Q\) стоит столько, сколько стоило его «собрать».
Энергия сферы \(\propto1/R\). Сжали вдвое — энергия удвоилась. Работа внешних сил равна приросту, то есть начальной энергии. Интеграл давления \(P\propto1/r^4\) по пути от \(R\) до \(R/2\) даёт ровно то же: два языка, один ответ.
Общее правило: сжатие в \(n\) раз стоит \(Q^2(n-1)/(8\pi\varepsilon_0 R)\). При \(n\to1\) работа нуль, при \(n\to\infty\) (сжать в точку) — бесконечность. Нельзя собрать точечный заряд конечной работой. Это ещё один лик той же болезни, что в 6.5.16–17.