Какую минимальную работу против сил электрического поля нужно совершить, чтобы собрать каплю ртути радиуса \(R\) с зарядом \(Q\) из \(N\) одинаковых заряженных капель?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Ртуть проводит, капля — эквипотенциальный шар. Большая капля: радиус \(R\), заряд \(Q\), энергия \(W=Q^2/(8\pi\varepsilon_0 R)\).
Из \(N\) одинаковых капель: объём сохраняется, \(N\cdot\frac43\pi r^3=\frac43\pi R^3\), откуда \(r=R N^{-1/3}\). Заряд делится поровну, \(q=Q/N\). Энергия одной мелкой \[ W_1=\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 r}=\frac{Q^2}{N^2}\cdot\frac{N^{1/3}}{8\pi\varepsilon_0 R} =\frac{Q^2 N^{-5/3}}{8\pi\varepsilon_0 R}. \] Всего \(N\) штук, пока они далеко друг от друга (взаимодействием пренебрегаем — «минимальная» работа как раз соответствует слиянию из бесконечности): \[ W_N=N W_1=\frac{Q^2 N^{-2/3}}{8\pi\varepsilon_0 R}. \] Работа сборки \[ A=W-W_N=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}\bigl(1-N^{-2/3}\bigr). \]
Поверхностное натяжение ртути мы не считаем: в условии просят работу против электрических сил.
Ртутная капля \(R=1\) мм с зарядом 1 нКл имеет \(W\approx 4{,}5\) мкДж. Собрать её из тысячи мелких (\(N=10^3\), \(N^{-2/3}=0{,}01\)) почти не дешевле, чем создать сразу: \(A\approx 0{,}99W\). Мелочь почти без энергии, вся работа — в финальном укрупнении.
Объём сохраняется, \(r=R N^{-1/3}\), заряд делится поровну. Энергия мелкой капли \(\propto q^2/r\propto N^{-5/3}\), всех вместе \(\propto N^{-2/3}\). Большая капля несёт \(W\propto1/R\). Разность — минимальная работа сборки из бесконечности, без поверхностного натяжения.
При \(N=8\) мелкие вдвое меньше радиусом, \(A=0{,}75W\). При \(N\to\infty\) мелочь почти без энергии, \(A\to W\): как создать большую каплю из пыли, размазанной по вселенной. Поверхностное натяжение ртути дало бы ещё работу \(\propto\sigma R^2(1-N^{-1/3})\); в условии её нет, считаем только электричество.