Заряженное тело сжали так, что все его линейные размеры уменьшились в \(n\) раз. Во сколько раз увеличилась энергия электрического поля этого тела?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Заряд сохраняется, тело уменьшили подобно: все линейные размеры \(\times 1/n\). Потенциал системы проводников (или распределение \(\rho(\mathbf r)\)) масштабируется как \(Q/(\varepsilon_0 L)\), энергия \(W\sim Q\varphi\sim Q^2/(\varepsilon_0 L)\). Значит \[ W' = n W: \] энергия поля выросла в \(n\) раз.
Тот же вывод из интеграла. Поле \(E\sim Q/(\varepsilon_0 L^2)\) после сжатия \(\times n^2\), плотность \(w=\varepsilon_0 E^2/2\) \(\times n^4\), объём \(\times 1/n^3\), произведение \(\times n\).
Это верно и для сферы (\(W=Q^2/(8\pi\varepsilon_0 R)\)), и для шара (\(3Q^2/(20\pi\varepsilon_0 R)\)), и для плоского конденсатора при подобном сжатии всех рёбер (\(C\propto L\), \(W=Q^2/(2C)\propto 1/L\)). Исключение было бы, если заряд при сжатии утечёт, — но тело просто сжали.
Исключение, которого здесь нет: если при сжатии часть заряда стечёт на землю, \(Q\) тоже изменится, и множитель будет другим. В условии тело просто сжали — заряд заперт. Для конденсатора при фиксированном \(V\) было бы наоборот: \(W=CV^2/2\), \(C\propto L\), энергия упала бы в \(n\) раз.
Подобие: все длины \(\times1/n\), заряд тот же. Поле \(\times n^2\), плотность энергии \(\times n^4\), объём \(\times1/n^3\), произведение \(\times n\). Энергия растёт в \(n\) раз. Это верно для любой подобной фигуры — сферы, куба, плоского конденсатора, — пока заряд не утекает.
Не путать с растяжением при фиксированном потенциале: там \(W\propto C V^2\propto L\), энергия растёт с размером. Здесь фиксирован заряд, \(W\propto1/L\), меньше тело — дороже поле. Задача 6.5.19 — частный случай \(n=2\).