Для того чтобы сложить вместе две одинаковые пластины с равными зарядами, которые были удалены друг от друга на большое расстояние, необходимо совершить работу \(A\). Какую работу нужно совершить, чтобы сложить вместе три такие пластины? \(n\) пластин?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Две одинаковые пластины с равными зарядами, из бесконечности в стопку — работа \(A\). Это энергия их взаимодействия в контакте (минус нуль на бесконечности). Собственные энергии пластин при этом не меняются: заряд на каждой пластине тот же, форма та же.
Три пластины. Пар теперь три: \((12)\), \((13)\), \((23)\). Каждая пара в стопке взаимодействует точно так же, как две пластины в первой операции — пластины тонкие, расстояние «контакт» одно и то же. Поэтому \[ A_3=3A. \] Для \(n\) пластин число пар \(C_n^2=n(n-1)/2\), \[ A_n=\frac{n(n-1)}{2}A. \]
Почему можно просто складывать попарные энергии? Энергия системы зарядов \(W=\frac12\sum q_i\varphi_i\) квадратична, и при одинаковых зарядах и одинаковой геометрии любой пары перекрёстные члены равны. Собственные энергии в \(A_n\) не входят — их вычитают, когда считают работу «из бесконечности».
Аналогия с гравитацией: чтобы собрать \(n\) одинаковых звёзд в кучу, число пар тоже \(n(n-1)/2\), и полная энергия связи — сумма попарных. Электростатика квадратична по заряду точно так же, как гравитация по массе. Поэтому комбинаторика пар работает начисто.
Собственные энергии пластин не меняются: заряд и форма каждой прежние. Меняется только взаимодействие. Каждая пара в контакте стоит \(A\), пар у \(n\) пластин \(n(n-1)/2\). Отсюда \(A_n\). Для трёх пластин — три пары, \(3A\).
Если заряды разноимённые, \(A\) отрицательна: складывать выгодно, система сама схлопывается. Комбинаторика пар та же. Если заряды разные по модулю, простая формула ломается: разные пары стоят по-разному. В условии заряды равные — это важно.