Равномерно заряженные грани правильного тетраэдра имеют одинаковый заряд. Чтобы сложить две грани тетраэдра вместе, необходимо совершить работу \(A\). Какую работу нужно совершить, чтобы сложить все грани тетраэдра в одну стопку?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Четыре грани, на каждой одинаковый заряд, равномерно размазанный. Сложить две грани — работа \(A\): это энергия взаимодействия именно этой пары, из «тетраэдрического» положения в контакт.
Любые две грани правильного тетраэдра эквивалентны: все рёбра равны, все двугранные углы равны. Значит, энергия взаимодействия любой пары в исходном положении одна и та же, и работа перевода любой пары в контакт одна и та же — наше \(A\).
В стопке все четыре грани лежат друг на друге, то есть все шесть пар находятся в контакте. Было шесть «тетраэдрических» пар, стало шесть «контактных» пар. Работа \[ A'=6A. \] Собственные энергии граней не меняются (заряд и форма каждой грани те же), меняется только взаимная часть.
Если сложить только три грани, пар будет \(C_3^2=3\), работа \(3A\). Четвёртая грань добавляет ещё три пары (она контактирует с каждой из трёх), итого \(6A\). Пошаговая сборка даёт тот же счёт, что и «все пары сразу» — проверка на непротиворечивость.
Правильный тетраэдр тем и хорош, что все шесть пар граней эквивалентны: одинаковые рёбра, одинаковые двугранные углы. Работа перевода любой пары из «тетраэдрического» положения в контакт одна и та же — наше \(A\). В стопке все шесть пар в контакте, работа \(6A\).
У куба так нельзя: соседние грани и противоположные — разные пары, разные энергии. У октаэдра снова все пары граней одинаковы, и схема жива. Симметрия решает, можно ли просто умножать на число пар.