Равномерно заряженный лист, имеющий форму прямоугольного равнобедренного треугольника, сложили вдвое. При этом была совершена работа \(A\) против сил электрического поля. Какую работу нужно совершить, чтобы ещё раз так же сложить полученный треугольник?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Лист — прямоугольный равнобедренный треугольник, заряд размазан равномерно. Сложили по высоте к гипотенузе (или по катету — «так же»): получился треугольник вдвое меньшей площади, подобный исходному, линейные размеры \(\times 1/\sqrt2\). Работа этого складывания равна \(A\).
Теперь складываем ещё раз «так же». Новая фигура подобна предыдущей с коэффициентом \(1/\sqrt2\), заряд весь тот же \(Q\) (он никуда не делся, только перераспределился по сложенному листу: в местах контакта плотность удвоилась, но полный заряд прежний).
Электрическая энергия масштабируется как \(Q^2/(\varepsilon_0 L)\). Все расстояния при втором складывании в \(\sqrt2\) раз меньше соответствующих расстояний при первом, заряд тот же, поэтому работа \[ A'=\sqrt2\, A. \] Подобие здесь работает насквозь: и «до», и «после» второго складывания — те же конфигурации, что «до» и «после» первого, только уменьшенные в \(\sqrt2\).
Прямоугольный равнобедренный треугольник с катетом \(a\) после складывания по высоте к гипотенузе даёт равнобедренный треугольник с катетом \(a/\sqrt2\). Геометрия подобна с коэффициентом \(1/\sqrt2\), никаких новых углов не появляется — поэтому подобие чистое и работает без поправок на форму.
Каждое складывание подобно уменьшает линейный размер в \(\sqrt{2}\) раз, заряд тот же. Электрическая энергия и работа масштабируются как \(1/L\), то есть умножаются на \(\sqrt{2}\). Второе складывание стоит \(\sqrt{2}\,A\), третье — \(2A\), и так далее.
Ряд расходится: сложить лист «в точку» стоит бесконечность, как собрать точечный заряд. Поэтому вопрос «ещё раз» — ровно одна операция, и ответ конечен. Поверхностное натяжение бумаги мы не считаем: в условии только электрическая работа.