На сколько вырастет энергия поля двух точечных зарядов \(Q\) при сближении с бесконечности на расстояние \(l\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Два точечных заряда \(Q\) и \(Q\) на бесконечности не взаимодействуют. Сблизили их до расстояния \(l\). Работа внешних сил против кулоновского расталкивания (квазистатически, кинетической энергии не оставляем) \[ A=\int_\infty^l\Bigl(-\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\Bigr)(-dr) =\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 l}. \] Это и есть прирост энергии поля \(\Delta W\). Формула \(W_{\text{вз}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r}\) как раз про этот кусок — без собственных бесконечностей.
Полная энергия поля \(\int\varepsilon_0 E^2/2\,dV\) содержит ещё две расходящиеся «собственные» энергии каждого заряда. При сближении они не меняются, в разность не входят.
Плотность энергии поля двух зарядов содержит \(E_1^2+E_2^2+2\mathbf E_1\cdot\mathbf E_2\). Интегралы \(E_i^2\) — собственные энергии, бесконечные и постоянные. Перекрёстный член \(\varepsilon_0\int\mathbf E_1\cdot\mathbf E_2\,dV=Q^2/(4\pi\varepsilon_0 l)\) — ровно наша \(\Delta W\). Так «энергия в поле» и «энергия взаимодействия» склеиваются.
Собственные энергии точек бесконечны и при сближении не меняются. В разность входит только перекрёстный член \(2\int\varepsilon_0\mathbf{E}_1\cdot\mathbf{E}_2\,dV/2=Q^2/(4\pi\varepsilon_0 l)\). Это и есть \(\Delta W\). Интеграл силы от бесконечности до \(l\) даёт то же.
Разноимённые заряды: \(\Delta W<0\), система сама сближается, энергия поля уменьшается (уходит в механическую работу или излучение). При \(l\to\infty\) прирост нуль. Формула \(q_1q_2/(4\pi\varepsilon_0 r)\) — про этот конечный кусок, без собственных расходимостей.