При медленном сближении двух заряженных проводников потенциалы изменились на \(\Delta\varphi_1\) и \(\Delta\varphi_2\). Работа, если заряды \(Q_1\), \(Q_2\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Два проводника несут фиксированные заряды \(Q_1\) и \(Q_2\) (изолированы). Их энергия \[ W=\frac12\bigl(Q_1\varphi_1+Q_2\varphi_2\bigr). \] При медленном сближении заряды не меняются, потенциалы сдвинулись на \(\Delta\varphi_1\) и \(\Delta\varphi_2\). Прирост энергии \[ \Delta W=\frac12\bigl(Q_1\Delta\varphi_1+Q_2\Delta\varphi_2\bigr). \] Потерь нет, кинетики нет, батареи не подключены — этот прирост равен работе внешних сил: \[ A=\frac{Q_1\Delta\varphi_1+Q_2\Delta\varphi_2}{2}. \]
Знак: одноимённые заряды при сближении поднимают потенциалы (\(\Delta\varphi>0\)), работа положительна — мы работаем против отталкивания. Разноимённые — потенциалы по модулю падают, \(A<0\), система втягивается сама.
Почему не \(Q\Delta\varphi\), а половина? Потому что \(\varphi\) само создано этими зарядами. Это та же единица с половиной, что в \(W=Q^2/(2C)\) и в \(W=CV^2/2\).
Если проводники заземлены, заряды не фиксированы и формула другая: \(W=\frac12\sum C_{ij}\varphi_i\varphi_j\), работа считается через изменение ёмкостных коэффициентов. В условии заряды даны, потенциалы плывут — наш случай \(Q=\mathrm{const}\).
Энергия системы проводников \(\tfrac12\sum Q_i\varphi_i\). Заряды заморожены, меняются только потенциалы. Прирост \(\tfrac12\sum Q_i\Delta\varphi_i\) и есть работа внешних сил. Половина — потому что потенциалы сами созданы этими зарядами: это не «внешнее» \(\varphi\), за которое платили бы целиком \(Q\Delta\varphi\).
Одноимённые заряды при сближении поднимают потенциалы, \(A>0\). Разноимённые — опускают, система сама едет навстречу. Один проводник и бесконечность: \(A=Q\Delta\varphi/2\), как у одиночного конденсатора при изменении ёмкости.