В плоский конденсатор с размерами обкладок \(a\times a\) и расстоянием между ними \(d\) помещают так, как изображено на рисунке (пластинка вдвинута на половину длины обкладки), проводящую пластинку толщины \(c\) с размерами \(a\times a\). Определите, какую силу нужно приложить к пластинке, чтобы удержать её на месте, если: а) заряд обкладок равен \(\pm Q\); б) между обкладками поддерживается постоянная разность потенциалов \(V\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пластинка толщины \(c\) вставлена на глубину \(x\) (в условии — наполовину, \(x=a/2\)). Ёмкость как функция \(x\): \[ C(x)=\varepsilon_0 a\Biggl(\frac{x}{d-c}+\frac{a-x}{d}\Biggr) =\varepsilon_0 a^2\Biggl(\frac{1}{d}+\frac{x}{a}\cdot\frac{c}{d(d-c)}\Biggr). \] Пластинка увеличивает ёмкость: металл «съел» толщину \(c\).
а. Заряд \(\pm Q\) фиксирован. \(W=Q^2/(2C)\), сила, с которой поле втягивает пластинку, \(F=-dW/dx\) (в сторону роста \(C\)): \[ F=\frac{Q^2}{2C^2}\frac{dC}{dx}. \] На середине \(x=a/2\) \[ C=\varepsilon_0 a^2\cdot\frac{2d-c}{2d(d-c)},\qquad \frac{dC}{dx}=\frac{\varepsilon_0 a c}{d(d-c)}, \] \[ F=\frac{2Q^2 dc(d-c)}{\varepsilon_0 a^3(2d-c)^2}. \] Чтобы удержать пластинку, нужна такая же сила наружу.
б. Напряжение \(V\) фиксировано. Теперь \(W=CV^2/2\), и сила втягивания \(F=+dW/dx\) (батарея помогает): \[ F=\frac{V^2}{2}\frac{dC}{dx}=\frac{\varepsilon_0 a c V^2}{2d(d-c)}. \] От \(x\) эта сила не зависит — пока пластинка не вышла из конденсатора целиком.
Пластинка «съедает» толщину \(c\), ёмкость участка под ней растёт. Поле втягивает её внутрь: \(F=+\tfrac12 V^2 dC/dx\) при фиксированном напряжении и \(F=+(Q^2/2C^2)dC/dx\) при фиксированном заряде. На середине подставляем \(C(a/2)\) и получаем два разных ответа — потому что \(Q=C V\) в середине уже не равно исходному \(C(0)V\).
Предел \(c\to d\): при фиксированном \(V\) сила расходится, пластинка замыкает зазор и влетает с ударом. При фиксированном \(Q\) напряжение падает по мере влёта, сила остаётся конечной. Это типичное различие «батарея / изолированные обкладки».