Оцените, какую работу нужно совершить, чтобы из системы двух параллельных заземлённых пластин вытянуть наполовину находящуюся между ними проводящую пластину? Заряд вытягиваемой пластины \(Q\), расстояние между ней и крайними пластинами \(a\) и \(b\). Площадь каждой пластины \(S\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пластина заряда \(Q\) сидит между двумя заземлёнными пластинами на расстояниях \(a\) и \(b\). Её ёмкость относительно «земли» \[ C=\varepsilon_0 S\Bigl(\frac1a+\frac1b\Bigr)=\varepsilon_0 S\frac{a+b}{ab}: \] два плоских конденсатора параллельно. Энергия \[ W=\frac{Q^2}{2C}=\frac{Q^2 ab}{2\varepsilon_0 S(a+b)}. \]
Вытягиваем пластину наполовину вдоль себя. Эффективная площадь перекрытия \(\times 1/2\), ёмкость \(\times 1/2\), энергия \(\times 2\). Работа внешних сил (заряд на пластине фиксирован, обкладки заземлены — заряд с них успевает уйти, но это не меняет \(W=Q^2/(2C)\), потому что потенциал обкладок нуль и в энергию не входит) \[ A=\Delta W=W=\frac{Q^2 ab}{2\varepsilon_0 S(a+b)}. \]
Оценка: мы пренебрегли краевым полем вытянутого края. Для оценки «наполовину» этого достаточно — в условии и просят оценить.
Вытянуть полностью (а не наполовину) удвоило бы работу ещё раз, если бы ёмкость падала линейно до нуля, — но у края пластины ёмкость не обнуляется, остаётся краевая. Поэтому в условии и стоит «оценить» и «наполовину»: середина хода, где линейная модель ещё честна.
Средняя пластина с зарядом \(Q\) между двумя землями — два конденсатора параллельно, \(C=\varepsilon_0 S(1/a+1/b)\). Вытянули наполовину — перекрывающаяся площадь вдвое меньше, ёмкость вдвое меньше, энергия при фиксированном \(Q\) вдвое больше. Работа равна исходной энергии.
Краевым полем вытянутого края мы пренебрегли: оценка «наполовину», не численный расчёт до процента. При \(a=b\) формула упрощается до \(Q^2 d/(8\varepsilon_0 S)\) с \(d=2a\). При \(b\to\infty\) остаётся одна стенка, \(A=Q^2 a/(2\varepsilon_0 S)\).