Металлическая незаряженная пластинка площади \(S\) и толщины \(d\) находится на расстоянии \(r\) от точечного заряда \(q\) и ориентирована перпендикулярно вектору \(\mathbf{r}\). Найдите силу, с которой пластинка притягивается к заряду. Толщина пластинки меньше, а расстояние \(r\) много больше линейных размеров пластинки.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Точечный заряд \(q\) на расстоянии \(r\) от пластинки. Размеры пластинки много меньше \(r\), поэтому поле на ней почти однородно и равно \[ E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, \] а при удалении на малое \(\Delta r\) оно убывает на \(\Delta E=\dfrac{2E}{r}\,\Delta r=\dfrac{2q}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\,\Delta r\) — так меняется \(1/r^2\). Толщина \(d\) меньше поперечных размеров, пластинка металлическая и незаряженная. На гранях наводятся \(\pm\sigma=\pm\varepsilon_0 E\), дипольный момент \[ p=\sigma S\cdot d=\varepsilon_0 E Sd \] направлен вдоль \(\mathbf r\) (плюс — дальше от \(q\), если \(q>0\): поле выталкивает положительные заряды).
Сила на диполь — разность сил на его «плюс» и «минус», сидящие в чуть разных полях: \(F=p\,\Delta E/\Delta r\), по модулю \[ F=p\cdot\frac{2q}{4\pi\varepsilon_0 r^3} =\varepsilon_0\cdot\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\cdot Sd\cdot\frac{2q}{4\pi\varepsilon_0 r^3} =\frac{q^2 Sd}{8\pi^2\varepsilon_0 r^5}. \] Направление — к заряду: нейтральный проводник втягивается в область более сильного поля.
Тонкая металлическая пластинка в почти однородном поле заряда становится диполем \(p=\varepsilon_0 E Sd\). Сила на диполь \(p\cdot2E/r\), и поскольку \(E\propto1/r^2\), \(E/r\propto1/r^3\), \(p\propto1/r^2\), сила падает как \(1/r^5\). Знак: притяжение, пластинка втягивается в область сильного поля.
При \(d\to0\) диполя нет, сила нуль. При \(r\), сравнимом с размерами пластинки, однородное приближение ломается, нужны изображения. В условии \(r\) много больше размеров — диполь законен. Та же \(1/r^5\) встретится у диэлектрической пластинки в 6.6.16.