Савченко, задача 6.5.30

Изолированная незаряженная оболочка с зарядом \(q\) в центре. Если дырки нет, на внутренней поверхности наводится \(-q\), равномерно, \(\sigma=-q/(4\pi R^2)\), поле в полости — только поле самого \(q\), сила на него нуль.

Дырка радиуса \(r\), толщина стенки \(\Delta\ll r\ll R\). Закроем её пробкой. Полная оболочка: \(E(0)=0\) (поле оболочки в центре). Значит \[ E_{\text{пробки}}(0)+E_{\text{с дыркой}}(0)=0. \] Пробка несёт заряд \(q'=\sigma\cdot\pi r^2=-qr^2/(4R^2)\) и имеет толщину \(\Delta\). Это диполь \(p\sim q'\Delta\), поле диполя на оси на расстоянии \(R\) \[ E_{\text{пробки}}(0)=\frac{q'\Delta}{2\pi\varepsilon_0 R^3} \] (формула \(E=p/(2\pi\varepsilon_0 R^3)\) для диполя вдоль радиуса). После удаления пробки заряды на оставшейся оболочке почти не перераспределяются (\(\Delta\ll r\ll R\)), и \[ E(0)\approx -E_{\text{пробки}}=\frac{q r^2\Delta}{8\pi\varepsilon_0 R^5}. \] Сила на заряд \(q\) направлена к отверстию (поле оболочки без пробки в центре смотрит на дырку: «нехватка» отрицательного \(\sigma\)): \[ F=qE\approx\frac{q^2 r^2\Delta}{8\pi\varepsilon_0 R^5}. \]

В ответах задачника та же комбинация; иногда путают \(\varepsilon\) и \(\varepsilon_0\) — в СИ стоит \(\varepsilon_0\).

Целая оболочка не тянет заряд в центре: наведённый \(-q\) размазан равномерно. Дырка — это отсутствующая пробка с зарядом \(\sigma\cdot\pi r^2\). Поле пробки в центре и есть сила на \(q\) после удаления пробки (с минусом). Пробка тонкая, это диполь \(\propto\Delta\), поле \(\propto1/R^3\), сила \(\propto q^2 r^2\Delta/R^5\).

Знак: к отверстию. Интуиция — заряд притягивается к ближайшему «обрыву» наведённого минуса, то есть к краю дырки, а равнодействующая смотрит в дырку. При \(r\to0\) или \(\Delta\to0\) сила нуль. Числа: нанокулон в 10-сантиметровой оболочке с сантиметровой дыркой — \(10^{-10}\) Н, слабо, но принципиально не ноль.