Какой заряд на единицу длины длинной цилиндрической оболочки радиуса \(R\), если она выдерживает давление \(P\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Длинная цилиндрическая оболочка радиуса \(R\) несёт заряд \(\lambda\) на единицу длины. По теореме Гаусса \[ E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R}\quad\text{снаружи у поверхности},\qquad E=0\quad\text{внутри}. \] Давление наружу \[ P_{\text{эл}}=\frac{\varepsilon_0 E^2}{2}=\frac{\lambda^2}{8\pi^2\varepsilon_0 R^2}. \] Оболочка выдерживает давление \(P\), значит предельное \(\lambda\) находится из \(P_{\text{эл}}=P\): \[ \lambda=2\pi R\sqrt{2\varepsilon_0 P}. \] В ответе задачника это записано как \(\rho=2\pi R\sqrt{2\varepsilon_0 P}\) — линейная плотность, не объёмная.
Тот же ответ из энергии. На единицу длины \(W'=\lambda^2\ln(\infty)/(4\pi\varepsilon_0)\) расходится — бесконечный цилиндр. Но сила на оболочку считается локально: \(dW=\frac{\lambda^2}{4\pi\varepsilon_0 R}\,dR\) на единицу длины при раздувании (ёмкость цилиндра \(2\pi\varepsilon_0/\ln(R_\text{экр}/R)\)). Давление \(P=(1/(2\pi R))\cdot dW'/dR=\lambda^2/(8\pi^2\varepsilon_0 R^2)\). Совпало.
Цилиндр отличается от сферы только геометрией Гаусса: \(E=\lambda/(2\pi\varepsilon_0 R)\) вместо \(Q/(4\pi\varepsilon_0 R^2)\). Давление снова \(\varepsilon_0 E^2/2\). Выражая \(\lambda\) через \(P\), получаем \(\lambda\propto R\sqrt{P}\): толще труба — больше заряд на единицу длины она выдержит, потому что поле при том же \(\lambda\) слабее.
Численно при \(R=1\) см и атмосфере \(\lambda\sim8{,}4\cdot10^{-5}\) Кл/м, поле \(\sim1{,}5\cdot10^8\) В/м — в полсотни раз выше пробойного поля воздуха. Механическая прочность трубы обычно ни при чём: воздух ударит раньше, чем металл порвётся. В масле или вакууме картина меняется.