Найдите электрическое давление на внутреннюю поверхность сферического конденсатора, заряженного до разности потенциалов \(V\). Радиус внешней обкладки конденсатора \(R\), радиус внутренней \(r\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Ёмкость сферического конденсатора (задача 6.4.5) \[ C=4\pi\varepsilon_0\frac{rR}{R-r},\qquad Q=CV=4\pi\varepsilon_0\frac{rR}{R-r}V. \] Поле в зазоре у поверхности внутренней обкладки \[ E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}=\frac{R V}{r(R-r)}. \] Внутри проводника \(E=0\), поэтому давление на внутреннюю сферу — наружу, к внешней — \[ P=\frac{\varepsilon_0 E^2}{2}=\frac{\varepsilon_0 R^2 V^2}{2r^2(R-r)^2}. \]
Внешняя обкладка тоже чувствует давление, но там поле снаружи нуль, а в зазоре \(E(R)=rV/[R(R-r)]\), и давление меньше в \((R/r)^2\) раз: сила на всю внешнюю сферу равна силе на внутреннюю (третий закон), а площадь больше.
Числа. Пусть \(r=5\) см, \(R=6\) см, \(V=1\) кВ. Тогда \(E(r)=RV/[r(R-r)]=6\cdot10^3/(0{,}05\cdot0{,}01)=1{,}2\cdot10^7\) В/м, \(P=\varepsilon_0 E^2/2\approx 640\) Па — уже заметное давление, десятая доля процента атмосферы. Приближение обкладок резко поднимает и поле, и давление: в знаменателе \((R-r)^2\).
Поле у внутренней обкладки всегда больше, чем у внешней: тот же поток \(Q/\varepsilon_0\) через меньшую площадь. Поэтому внутренний шар давит сильнее, хотя полные силы равны (третий закон): площадь меньше ровно во столько же раз, во сколько \(E^2\) больше.
Плоский предел \(R=r+d\), \(d\ll r\): \(E\approx V/d\), \(P\approx\varepsilon_0 V^2/(2d^2)\) — школьный конденсатор. Предел \(R\to\infty\): уединённый шар, и мы возвращаемся к 6.5.5. Оба конца формулы живые, отдельно их решать не нужно.